\require{AMSmath}

Limiet cirkel

Hallo wisfaq,

Ik wil laten zien dat

x'=y/[1+x²]
y'=[-x+y(1+x²+y²)]/[1+x²]

geen limiet cirkel heeft in R².

Ik heb het systeem eerst geschreven in poolcoordinaten:
(w=tan^(-1)(y/x))

r'=[rsinw(1+(rcosw)²+(rcosw)⁴)]/[1+(rcosw)²]

w'=[-1+coswsinw(1+(rcosw)²+(rcosw)⁴)]/[1+(rcosw)²]

Stel er is wel een limiet cirkel dan moet volgens mij r'van teken veranderen want:
laat r=c een limietcirkel zijn, dan gaan de oplossingen naar c (voor t gaat naar oneindig of -oneindig).Laat voor nu even t naar oneindig gaan.De oplos'n binnen in c moeten richting c gaan, dus voor opl'n daar geldt r'0 want r neemt toe.En oplossingen buiten c moeten richting c gaan, r neemt af, dus r'0 buiten c.

In dit geval is r'0 en r'=0 voor w=k·pi.Dus r' wisselt niet van teken, r neemt alleen toe dus alle oplossing 'gaan' naar buiten toe, dus weg van de oorsprong.Dus er is hier geen limietcirkel.

Is dit correct?En zo ja kan het beter geformuleerd worden?
En wat moet ik doen met het geval r'=0?

Vriendelijke groeten,

Viky

viky
Student hbo - vrijdag 18 november 2005

Antwoord

Ik kom uit op r'=r·sin²w·(1+r²)/(1+r²cos²w); dat is altijd 0, tenzij sin(w)=0. De oplossingen gaan altijd verder van de oorsprong vandaan,
zelfs als ze de lijnen w=0 en w=pi kruisen (vlak daarvoor en daarna neem r
toch toe).

kphart
vrijdag 25 november 2005

Re: Limiet cirkel

©2001-2024 WisFaq