Er zijn drie bolvergelijkingen (1) x2+y2+z2=(r1)2 (2)(x-a)2+y2+z2=(r2)2 (3)x2+(y-b)2+z2=(r3)2 vraag1:Er zijn twe snijpunten in R3. ga na hoe dat in de oplossing van (1),(2)en (3) is te zien vraag 2:twee bollen snijden elkaar volgens een cirkel. Ga dit na in de vergelijkingen.
a. ber
Student hbo - vrijdag 31 mei 2002
Antwoord
Hé.. deze vraag komt me bekend voor!
Vraag 1. Uit (1)-(2) kan je afleiden dat: 2ax-a2=r12-r22 Omdat a, r1 en r2 constanten zijn kan je x uitrekenen. Dat betekent dus dat de snijpunten in een vlak liggen met de vergelijking x=...
Uit (1)-(3) kan je afleiden dat: 2by-b2=r12-r32 Omdat b, r1 en r3 constanten zijn kan je y uitrekenen. Dat betekent dus dat de snijpunten in een vlak liggen met vergelijking y=...
Welnu, als je deze 'x' en 'y' invult in (1) krijg je een vergelijking met z2=... Als het goed is komen daar dan twee mogelijke z-waarden uit, zodat je uiteindelijk twee snijpunten krijgt.
Vraag 2. Snijden van (1) en (2). We zagen al dat: 2ax-a2=r12-r22 Hieruit volgt: x=(a2+r12-r22)/(2a) Dus de snijpunten liggen in een vlak x=c, met c is constant. Als je dit invult in (1) krijg je: c2+y2+z2=r12 y2+z2=r12-c2 Dit is in een vlak met vergelijking x=c een cirkel.
Nu moet je nog voor (1) en (3) hetzelfde doen, en voor (2) en (3) natuurlijk ook.
Vraag 2 Bij (1) en (2): x=4 (zie boven) Invullen in (1): 42+y2+z2=36 y2+z2=20 Invullen in (2) (4-8)2+y2+z2=36 y2+z2=20
Inderdaad: een cirkel (in het vlak x=4)
Eigenlijk is dit nog niet het antwoord, want de vraag is 'eigenlijk' hoe kan je aan de vergelijkingen zien of dit stelsel van bollenvergelijkingen twee oplossingen heeft.
Dit heeft natuurlijk alles te maken met de grootte van de stralen en de onderlinge afstanden. Kijken we naar (1) en (2): De bollen snijden NIET als a>r1+r2
Voorbeeld: (1) x2+y2+z2=4 (2) (x-12)2+y2+z2=16 Oplossen levert: 2·12·x-122=4-16 24x-144=-12 24x=132 x=51/2 Vul je dit in (1) dan krijg je iets als y2+z2=negatief. En dat is wel een beetje vreemd.
Dit hadden we kunnen zien aankomen, want 12>2+4, anders gezegd de middelpunten van de bol van (1) en de bol van (2) liggen op een afstand van 12. De straal van (1) is 2 en de straal van (2) is 4... dus die bollen snijden helemaal niet. Enzovoort!
