\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 26085

Re: Complexe uitkomst van een machtsverheffing

Dag,

De oplossing die u gegeven hebt is door gebruik te maken van de goniometrische vorm. Ik moet het echter verkrijgen door Z^5+32=0 te hervormen tot een tweedemachtsvergelijking (bv. door Horner,...) en dan de discriminant toe te passen. Zo krijgen we dan de 5 oplossingen.

Thomas
3de graad ASO - donderdag 8 juli 2004

Antwoord

dag Thomas,

Nu begrijp ik de bedoeling.
Je zult de oplossing z = -2 gevonden hebben.
Dan is de vorm z⁵-32 dus te ontbinden, waarbij een van de factoren gelijk is aan z+2
Dus
z⁵ - 32 = (z+2)·(z⁴ - 2z³ + 4z² - 8z + 16)
Nu gaat het erom, die vierdegraadsfactor verder te ontbinden in twee tweedegraadsfactoren.
Dus:
z⁴ - 2z³ + 4z² - 8z + 16 = (z² + az + b)·(z² + cz + d)
Haakjes uitwerken en coëfficiënten van gelijke machten gelijkstellen geeft:
a+c = -2
b+d+ac = 4
ad + bc = -8
bd = 16
We zouden kunnen proberen of uit die laatste vergelijking de waarden b=d=4 misschien een oplossing geven, en jawel!
De derde vergelijking gaat dan over in de eerste vergelijking.
We houden over:
a+c = 2
ac = -4
Dus a = -1 + Ö5 en c = -1 - Ö5 (of andersom)
Hiermee heb je je ontbinding gevonden.
Maar ja, ik weet niet hoe je dit in het algemeen zou moeten doen. In dit specifieke geval kwam het mooi uit.
groet, Anneke

Anneke
donderdag 8 juli 2004

©2001-2024 WisFaq