\require{AMSmath}

Domino-principe

Ik kreeg laatst op mijn tentamen de vraag: Bewijs met volledige inductie (domino-principe) dat de rij met voorschrift [u][/n]=[4][/n]/n! daalt vanaf een bepaalde term. Ik kwam hier zelf niet uit...kunnen jullie mij hulp bieden,
alvast bedankt Tom

Tom
Student hbo - dinsdag 13 april 2004

Antwoord

Hallo Tom,

De vraag is niet helemaal goed doorgekomen, ik vermoed dat je bedoelt u_n=4ⁿ/n! Je moet die [ sub] en [ /sub] laten staan en daartussen typen wat er in subscript moet komen.

Volledige inductie is hier niet bepaald de makkelijkste manier om dit te bewijzen, veel simpeler is op te merken dat het quotiënt u_n+1/u_n1.

En dat quotiënt is:
4ⁿ⁺¹/(n+1)! / (4ⁿ/n!)
= 4ⁿ⁺¹n! / (4ⁿ)(n+1)!
= 4/(n+1)
1 als n3

Nu met volledige inductie: dan moet je de stelling bewijzen voor één specifiek geval (reken uit dat u₅u₄).

En daarna moet je bewijzen dat, als het geldt voor n, het ook geldt voor n+1.

Maw: gegeven u_nu_n+1 (*)
Te bewijzen: u_n+1u_n+2
Bewijs:
u_n+2
= u_n+1*4/(n+2) (wegens def u)
u_n*4/(n+2) (wegens (*))
u_n*4/(n+1) (noemer verkleinen vergroot de breuk)
= u_n+1 (wegens def u)

Dus u_n+2 u_n+1

Groeten,
Christophe.

Christophe
dinsdag 13 april 2004

©2001-2024 WisFaq