Je zou de tetraëder zelf ook als piramide kunnen zien? dus met de formule I=1/3G·h, waarbij G=1/4·a2·tan60 en h=3/4·a2 is,dus
I=1/3·(1/4·a2·tan60)·(3/4a2)
Vereenvoudigd:
I=((1/2a)^8)·tan60
klopt deze formule? en is er nog een andere (eenvoudige) manier? alvast bedankt,
Bas
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 25 januari 2004
Antwoord
Dag Bas,
Ik ga uit van dezelfde figuur als in het antwoord op de oorspronkelijke vraag. Ook nu is a de lengte van de ribbe van de 'omhullende' kubus. Inderdaad kan je het viervlak EDBG opvatten als een piramide: top E, grondvlak BDG. De hoogte van de piramide is dan EK, waarbij K het zwaartepunt is van de gelijkzijdige driehoek BDG. Uit de tekening (rechts) kan je eenvoudig afleiden, dat EK = 2/3EC.
Hoe je aan de door jou genoemde formules bent gekomen, kan ik niet volgen. Ze kloppen volgens mij niet. Alleen al tan 60 = √3 geeft te denken, omdat in de inhoud van het viervlak √3 niet voorkomt (zoals onderstaand - en ook in het eerder gegeven antwoord - blijkt). En waar komt die exponent 8 in de uitdrukking voor I vandaan? Ik komt bij vereenvoudiging tot a4...
Voor de hoogte h van piramide E.BDG vinden we: h = EK = 2/3EC = 2/3a√3
De oppervlakte van een willekeurige driehoek PQR is gelijk aan 1/2.q.r.sin(P), waarbij q en r de zijdes van PQR zijn die het hoekpunt P gemeenschappelijk hebben.
Voor driehoek BDG vinden we dan: 'G' = 1/2.a√2.a√2.sin(60) = a2.1/2√3 = 1/2a2√3 Zodat we weer vinden:
I = 1/3Gh = 1/3.1/2a2√3.2/3a√3 = 1/3a3 ......(1)
Zij nu b de lengte van de ribbe van het viervlak, dan is b = a√2, waaruit volgt a = b/√2 Subsitueren we dit in (1), dan vinden we:
Dit is een reactie op vraag 9893 
