\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 10773

Re: Re: Lijn delen door parabool

De richting: alle mogelijke grafieken vinden als je een lijn deeld door een parabool. En bij elk grafiekje een korte uitleg geven over de mogelijke asymptoten, perforaties, spiegelingen, uitkomsten. En dus zeggen waarom dit zo is.
Maar het is dus de bedoeling dat ik erachter komt wat er bijvoorbeeld veranderd als ik a t/m e verander. Ik moet achter alle grafieken zien te komen en weten hoe je dit probleem aanpakt. Ik hoop dat u nu een beter antwoord kunt geven.

Emiel
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 9 mei 2003

Antwoord

eerder (zie: vraag-10755) hadden we gevonden dat de formule (ax+b)/(cx²+dx+e) als volgt herschreven konden worden:
c=0: (ax+b)/(dx+e) = (Fx+G)/(x+H) met F=a/d, G=b/d & H=e/d
c0: A(x+B)/(x2+Dx+E) met A=a/c, B=b/a, D=d/c & E=e/c vrij te kiezen

geval 1: de mogelijke grafieken als c=0 vinden we door breuksplitsen:
(Fx+G)/(x+H) = (Fx+FH+G-FH)/(x+H) = (Fx+FH)/(x+H)+(G-FH)/(x+H) = F + (G-FH)/(x+H)
de grafiek is er een met een horizontale asymptoot op hoogte y=F=-a/d en een verticale asymptoot bij X=-H=-e/d

geval 2: de mogelijke grafieken als c0 zijn wat veelzijdiger. We dienen te conditioneren op het aantal nulpunten van de noemer. Het aantal nulpunten wordt bepaald door het teken van de discriminant. De discriminant is D²-4E

Alle grafiek hebben een horizontale asymptoot voor y=0. Dit kun je op verschillende manieren inzien:
- voor zeer grote/ kleine x'en wordt de teller verwaarloosbaar klein tov de noemer. Het quotient gaat dus naar 0.
- door teller en noemer te delen door x. De teller wordt dan A en bepaald het teken van het quotient (immers B/x - 0 voor x-¥). De noemer wordt gelijk aan x+D (immers E/x - 0 voor x-¥) - ¥ en draait het teken om als x--¥

geval 2a: D²-4E = d²-4ce 0 (geen nulpunten)

De grafiek vertoont gelijkenis met de vorm van een gauss-kromme (al is de top wat spitser... waarom?) voor sommige A,B (eventueel op de kop afhankelijk van het teken!) en in de overige gevallen van A&B schiet een van de poten van de Gausskromme door de x-as heen om daarna zijn 'fout' te herstellen en weer richting x-as te gaan om daar uiteindelijk naar toe te convergeren.

geval 2b: D²-4E = d²-4ce = 0 (een nulpunt = -D/2=-d/(2c).)
Deze grafiek heeft behalve een horizontale asymptoot ook een verticale asymtoot bij x=-D/2=-d/(2c).
De grafiek lijkt op de grafiek van 1/x met een poot in het 1e quadrant en een in het derde quadrant (of het 2e en het 4e) met de kanttekening dat de hoek tussen de horizontale en de verticale asymptoot wat scherper lijkt te zijn afhankelijk van de ligging van het nulpunt van de functie Ax+B.

geval 2c: D²-4E = d²-4ce 0 (twee nulpunten)
de grafiek is eigenlijk identiek aan het hiervoor beschreven geval alleen is het nu zo dat de grafiek op de verticale asymptoot doormidden is geknipt en hier een grafiek tussengelegd wordt met deze zelfde verticale asymptoten en waarvan de tekening vergelijkenissen vertoont met een u een n [bv: (x+6)/(x²-4)] of een tangensfunctie als het nulpunt van Ax+B tussen de nulpunten van de noemer ligt [bv x/(x²-4)].

succes mijn verhaal een beetje op te leuken. Vergeet niet te vermelden welke schaal je gebruikt hebt voor de beschrijvingen (je mag zelf ook nog best iets doen...)

MvdH
vrijdag 9 mei 2003

©2001-2024 WisFaq