\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 7774

Re: Raaklijnen construeren

Punt P ligt hier op de parabool maar hoe kom ik aan de raaklijn aan de parabool als punt P niet op de parabool ligt? Neem eens P(1,-2)

roelof
Iets anders - woensdag 7 mei 2003

Antwoord

Dan werk je twee voorwaarden uit.

1. (1,-2) is een element van de lijn k;
2. het snijden van lijn k en de kromme mag maar 1 oplossing hebben.

bij 1.
de rechte k heeft iha de vergelijking y=ax+b
Je wilt graag a en b weten.
Nu weet je dat (1,-2) op k ligt, dus (invullen):
-2=a.1+b ofwel b=-a-2
Nu weet je dat de vergelijking van k luidt:
y=a.x + b = ax -a-2
...nou weet je alleen a nog niet.

bij 2
De vergelijking van de kromme luidt y=x²

Omdat de rechte k de kromme alleen mag RAKEN, betekent dit dat ze maar 1 punt gemeen mogen hebben, ofwel dat de vergelijking
x²=ax-a-2 Û x²-ax+a+2=0 maar 1 oplossing mag hebben. Determinant D=0

D=a²-4.1.(a+2)=a²-4a-8

dus D=0 Û a²-4a-8=0
a_1,2={4±Ö(16+32)}/2
= 2 ± ¹/₂.Ö48 = 2±2Ö3

als a=2+2Ö3 Þ b= -4-2Ö3
en als a=2-2Ö3 Þ b= -4+2Ö3

hiermee heb je de vergelijkingen van de 2 mogelijke rechten die raken aan y=x²
(schets eens voor jezelf hoe deze twee lijnen zouden kunnen lopen.)

** rekenfoutjes voorbehouden ;-)

groeten,
martijn

mg
woensdag 7 mei 2003

©2001-2024 WisFaq