|
|
|
\require{AMSmath}
Re: Re: Re: Re: Reeksen van getallen
voor jouw stelling heb ik een voorbeeld gegeven.
Mike
Student universiteit België - woensdag 13 april 2022
Antwoord
Een voorbeeld bewijst niks, en de stelling geldt ook niet.
Er geldt
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+\sqrt n}=1
$$maar
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n+\sqrt n}}{(n+\sqrt n)^n}=\infty
$$Deel teller en noemer door $n^n$, je krijgt
$$\frac{n^{\sqrt n}}{(1+\frac1{\sqrt n})^n}
$$Neem de logaritme:
$$\sqrt{n}\ln n -n\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)
$$Dat is gelijk aan
$$\sqrt n\left(\ln n-\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right)
$$Door gebruik te maken van $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ zien we dat
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)=1
$$Dit laat zien dat
$$\sqrt n\left(\ln n-\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right)
$$naar oneindig gaat, en de oorspronkelijke breuk dus ook.
De stelling die je wilde toepassen geldt dus niet.
kphart
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 13 april 2022
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|
Dit is een reactie op vraag 93540