WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

Re: Re: Re: Re: Reeksen van getallen

Dit is een reactie op vraag 93540

voor jouw stelling heb ik een voorbeeld gegeven.
Mike
Student universiteit België - woensdag 13 april 2022

Antwoord

Een voorbeeld bewijst niks, en de stelling geldt ook niet.
Er geldt
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+\sqrt n}=1
maar
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n+\sqrt n}}{(n+\sqrt n)^n}=\infty
Deel teller en noemer door n^n, je krijgt
\frac{n^{\sqrt n}}{(1+\frac1{\sqrt n})^n}
Neem de logaritme:
\sqrt{n}\ln n -n\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)
Dat is gelijk aan
\sqrt n\left(\ln n-\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right)
Door gebruik te maken van \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 zien we dat
\lim_{n\to\infty}\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)=1
Dit laat zien dat
\sqrt n\left(\ln n-\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right)
naar oneindig gaat, en de oorspronkelijke breuk dus ook.

De stelling die je wilde toepassen geldt dus niet.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 13 april 2022