WisFaq!

Re: Re: Re: Re: Reeksen van getallen

voor jouw stelling heb ik een voorbeeld gegeven.

Mike
13-4-2022

Antwoord

Een voorbeeld bewijst niks, en de stelling geldt ook niet.
Er geldt

\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+\sqrt n}=1

maar

\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n+\sqrt n}}{(n+\sqrt n)^n}=\infty

Deel teller en noemer door n^n, je krijgt

\frac{n^{\sqrt n}}{(1+\frac1{\sqrt n})^n}

Neem de logaritme:

\sqrt{n}\ln n -n\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)

Dat is gelijk aan

\sqrt n\left(\ln n-\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right)

Door gebruik te maken van \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 zien we dat

\lim_{n\to\infty}\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)=1

Dit laat zien dat

\sqrt n\left(\ln n-\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right)

naar oneindig gaat, en de oorspronkelijke breuk dus ook.

De stelling die je wilde toepassen geldt dus niet.

kphart
13-4-2022