WisFaq!

Re: Re: Re: Re: Reeksen van getallen

voor jouw stelling heb ik een voorbeeld gegeven.

Mike
13-4-2022

Antwoord

Een voorbeeld bewijst niks, en de stelling geldt ook niet.
Er geldt
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+\sqrt n}=1
$$maar
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n+\sqrt n}}{(n+\sqrt n)^n}=\infty
$$Deel teller en noemer door $n^n$, je krijgt
$$\frac{n^{\sqrt n}}{(1+\frac1{\sqrt n})^n}
$$Neem de logaritme:
$$\sqrt{n}\ln n -n\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)
$$Dat is gelijk aan
$$\sqrt n\left(\ln n-\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right)
$$Door gebruik te maken van $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ zien we dat
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)=1
$$Dit laat zien dat
$$\sqrt n\left(\ln n-\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right)
$$naar oneindig gaat, en de oorspronkelijke breuk dus ook.

De stelling die je wilde toepassen geldt dus niet.

kphart
13-4-2022