WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Oppervlakte

Gegeven is de functie f_a(x) = x³-4,5ax²+ 6a²x + 1 met a$>$ 0.
De punten A en B zijn de toppen van de grafiek.
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de waarde van a waarvoor de oppervlakte van driehoek OAB gelijk is aan 10.

Ik snap niet wat ze bedoelen met A en B zijn de toppen van de grafiek. Moet ik dan de afgeleide gelijk stellen aan nul en daar komen dan twee x-en uit? Maar door die a heb je nog een onbekende wat ik niet begrijp.
Kaylee
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 13 maart 2018

Antwoord

Hallo Kaylee,

Die onbekende a noemen we een parameter. Je kunt deze zien als een vast getal, je weet alleen (nog) niet hoe groot dit getal is. Als je het lastig vindt om te bedenken hoe je hiermee om moet gaan, kan je voor jezelf bedenken wat je zou doen wanneer a=3, of a=7, of a is een willekeurig ander vast getal.

Dat heb je gedaan: als eerste stap zou je de afgeleide van f_a(x) bepalen en deze gelijk stellen aan nul. Bij een bekende waarde van a zouden hier dan twee concrete oplossingen voor x uit komen, de nulpunten van je afgeleide, dus twee waarden voor x_top van de oorspronkelijke functie. Prima plan!

Nu ga je precies hetzelfde doen. Je zult merken dat de afgeleide een kwadratische functie is waarin a nog voorkomt. Nulpunten zoek je met de ABC-formule. Vul deze ABC-formule netjes in. Dit is een zorgvuldig werkje, want ook in deze ABC-formule komt de parameter a nog voor. Maak dus eerst een lijstje A=...., B=.... C=..... Dan netjes invullen en uitwerken.

Omdat de parameter a in je formule voorkomt, vind je niet twee concrete waarden voor x (de nulpunten). In plaats daarvan vind je twee formules voor deze nulpunten. In die formules komt a nog voor. Niks van aantrekken, we gaan gewoon door alsof we de waarde van a kennen:

De volgende stap zou zijn: de gevonden waarden van x_top invullen in f_a(x). Dat doen we nu ook. Alleen: in plaats van de gevonden vaste waarden voor x_top vul je nu de gevonden formule voor x_top in (twee keer, want je hebt twee formules voor x_top). Je vindt dus geen vaste y-waarden voor de toppen, je vindt twee formules voor de bijbehorende y_top.

Ik vind als formule voor de toppen A en B:

A(a ; 1+2,5a³)
B(2a ; 1+2a³)

Jij ook?

Voor de laatste stap zou ik een schets maken van driehoek OAB. Bedenk dat gegeven is a$>$0. Kan je dan zelf een truc verzinnen om een formule op te stellen voor de oppervlakte van driehoek OAB? Wanneer je deze formule eenmaal hebt, kan je met je GR oplossen: Oppervlak=10.

Lukt het hiermee?

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 13 maart 2018

Re: Oppervlakte