WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Goniometrische formules

Dit is een reactie op vraag 85444

Dit was de vraag op het examen, maar vermoed zelf dat deze fout was aangezien ik steeds met 5° vast zit...
Ruud
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 3 januari 2018

Antwoord

Ik kom ook uit op iets met $5^\circ$ en dat is problematisch want een hoek van vijf graden is niet met passer en liniaal te construeren.

In onderstaande link lees je waarom een hoek van $20^\circ$ niet te construeren is en omdat hoek-verdubbelen wel met passer en liniaal kan is een hoek van $5^\circ$ ook niet construeerbaar.

Dat betekent dat voor $\sin5^\circ$ en $\cos5^\circ$ geen `mooie' formules met vierkantwortels en zo bestaan. Wat diepere algebra laat zien dat het met andere wortels en alleen reële getallen ook niet lukt (je moet complexe gebruiken).

Bijvoorbeeld voor $\cos5^\circ$: als je de methode van de link hieronder volgt zie dat die waarde een oplossing moet zijn van de volgende vergelijking:
$$
4X^3-3X=\sqrt{\frac12+\frac14\sqrt3}
$$
De formule van Cardano geeft een uitkomst die reëel is maar die niet (algebraisch) vereenvoudigd kan worden.

Misschien is er een slimme truc die in dit speciale geval die $5^\circ$ weg kan werken maar ik zie hem niet. Is er een modeluitwerking?
Zie Pythagoras: Passer en liniaal

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 3 januari 2018