WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Limiet exp functie

Ik moet het afgeleide getal vinden via de limiet van de functie f(x)=e^x in het punt (0,1). Dat is dus limiet h gaande naar nul van f(0+h)-f(0)/h en dan kom ik op volgende limiet:

limiet voor h gaande naar 0 van (e^h-1)/h maar die geeft de onbepaaldheid 0/0 en ik weet niet hoe ik dan verder moet zonder hopital regel.
Arne D
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 28 februari 2017

Antwoord

Dat is eigenlijk een lastig probleem. Het hangt helemaal van de definitie van $e^x$ af (en dan bedoel ik een echte definitie).
Sommige boeken definiëren $e^x$ als de functie die zijn eigen afgeleide is en in $0$ de waarde $1$ aanneemt, dan geldt
$$
\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1
$$
per definitie (flauw maar waar).

Andere boeken definiëren
$$
e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}
$$dan kun je bewijzen dat deze functie de eigenschappen hierboven heeft en dan volgt dat de limiet dus gelijk is aan $1$.

Weer een andere definitie is als
$$
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n
$$dan kun je aantonen dat voor $|x| $<$ 1$ geldt
$$
1+x \le e^x \le \frac1{1-x}
$$en daaruit volgt de waarde van de limiet met behulp van de insluitstelling.

Nog een afspraak: eerst definiëren we
$$
\ln x = \int_1^x\frac1t\,\mathrm{d}t
$$en nemen dan $e^x$ als de inverse functie van $\ln x$; de limiet volgt dan uit de definitie van de afgeleide en de inverse-functiestelling.

Wat je eigenlijk nooit kunt doen is de regel van l'Hopital gebruiken: daarvoor moet je weten wat de afgeleide van $e^x$ is en als je die volgens de definitie gaat bepalen moet je eerst deze limiet uitrekenen (en dan kom je in een cirkelredenering terecht).

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 28 februari 2017