Limiet exp functie

Ik moet het afgeleide getal vinden via de limiet van de functie f(x)=e^x in het punt (0,1). Dat is dus limiet h gaande naar nul van f(0+h)-f(0)/h en dan kom ik op volgende limiet:

limiet voor h gaande naar 0 van (e^h-1)/h maar die geeft de onbepaaldheid 0/0 en ik weet niet hoe ik dan verder moet zonder hopital regel.

Arne D
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 28 februari 2017

Antwoord

Dat is eigenlijk een lastig probleem. Het hangt helemaal van de definitie van $e^x$ af (en dan bedoel ik een echte definitie).
Sommige boeken definiëren $e^x$ als de functie die zijn eigen afgeleide is en in $0$ de waarde $1$ aanneemt, dan geldt
$$
\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1
$$
per definitie (flauw maar waar).

Andere boeken definiëren
$$
e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}
$$dan kun je bewijzen dat deze functie de eigenschappen hierboven heeft en dan volgt dat de limiet dus gelijk is aan $1$.

Weer een andere definitie is als
$$
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n
$$dan kun je aantonen dat voor $|x| $<$ 1$ geldt
$$
1+x \le e^x \le \frac1{1-x}
$$en daaruit volgt de waarde van de limiet met behulp van de insluitstelling.

Nog een afspraak: eerst definiëren we
$$
\ln x = \int_1^x\frac1t\,\mathrm{d}t
$$en nemen dan $e^x$ als de inverse functie van $\ln x$; de limiet volgt dan uit de definitie van de afgeleide en de inverse-functiestelling.

Wat je eigenlijk nooit kunt doen is de regel van l'Hopital gebruiken: daarvoor moet je weten wat de afgeleide van $e^x$ is en als je die volgens de definitie gaat bepalen moet je eerst deze limiet uitrekenen (en dan kom je in een cirkelredenering terecht).

kphart
dinsdag 28 februari 2017

©2001-2024 WisFaq