WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Jordan normaalvorm

Dit is een reactie op vraag 14253

Beste,

wanneer je nu de JordanNormaalvorm JN hebt,
dan zijn JN en A gelijksoortig.
Hoe bereken je dan de matrix Q die ervoor zorgt dat:

JN=Q^-1.A.Q ?

mvg,
Timo
Student universiteit België - vrijdag 27 mei 2011

Antwoord

Hallo, Timo.

Stel dat A de matrix is van een lineaire transformatie T van Rⁿ op de natuurlijke basis e.

Er is een basis f zodat de matrix van T op basis f de JordanNormaalvorm heeft, dus gelijk is aan JN.

Uw vergelijking JN = Q^-1 A Q noteert men in termen van T en e en f als volgt:

[T]_f = [I]_f,e [T]_e [I]_e,f , waarbij I de identieke lineaire transformatie is (die elk element van Rⁿ op zichzelf afbeeldt).

Dus Q is de matrix [I]_e,f van I van basis f naar basis e, dwz in de j-de kolom van Q staan de coördinaten van de j-de basisvector f_j tov de natuurlijke basis e.

Het gaat er dus om de basis f te vinden waarop T de JordanNormaalvorm aanneemt.
Als er een basis van eigenvectoren van T bestaat, dan is f zulk een basis van eigenvectoren en JN een diagonaalmatrix met op de diagonaal de eigenwaarden.
Anders is het ingewikkelder, zoals in het voorbeeld van Koen Mahieu.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 1 juni 2011