WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Afrondingsregels en wetenschappelijke notatie

Dit is een reactie op vraag 5765

Dit verhaal is op mijn school ook gehouden, en mijn scheikundeleraar heeft begin dit jaar duidelijk gemaakt dat dit eigenlijk fout is, want het is niet echt de officiële manier. Maar die manier "is zo uitgebreid en ingewikkeld en tijdrovend, en geeft negen van de tien keer hetzelfde eruit dus gebruiken we gewoon deze methode, een stuk makkelijker"

Ik ben zelf toch wel benieuw naar die officiële methode
wouter
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 23 februari 2005

Antwoord

Hallo Wouter,

De beschreven afrondingsregels zijn in feite een manier om met de (on)nauwkeurigheid van je metingen rekening te houden. De officiele manier daarvoor is om bij elke meting ook de nauwkeurigheid op te geven. Een voorbeeld:

Stel dat we de zwaartekrachtsversnelling proberen te meten door een steentje te laten vallen van de gallerij op de derde verdieping van een flatgebouw en met een stopwatch te meten hoe lang het duurt voordat het op de grond valt. Uit de bouwtekening van de flat weten we dat de vloer van de derde etage H = 7.6 ± 0.3 m van de grond is. Dat betekent dat het ook best 7.3 of 7.9 meter zou kunnen zijn. Verder hebben we een stellage gemaakt met een statief en een klem waaruit we het steentje los gaan laten en we hebben gemeten dat het steentje dan op een hoogte van h = 498.3 ± 0.8 mm van de vloer wordt losgelaten.

Vervolgens doen we de meting een aantal keer en meten met de stopwatch elke keer hoe lang het vallen duurt: 1.31, 1.39, 1.27, 1.43, 1.33, 1.46, 1.32, 1.36, 1.29, 1.41, 1.38 s. We nemen het gemiddelde (1.359 s) en de standaarddeviatie (0.058 s) en concluderen dat de gemeten valtijd gelijk is aan t = 1.35 ± 0.02 s (als je het gemiddelde neemt over meerdere metingen, dan wordt de nauwkeurigheid beter, daarom delen we de standaarddeviatie nog door de wortel van het aantal metingen, door Ö11 in dit geval).

We hebben nu dus:
H = 7.6 ± 0.3 m
h = 0.4983 ± 0.0008 m
t = 1.35 ± 0.02 s

De totale hoogte waarvan we het steentje lieten vallen was gelijk aan H+h = 7.6 + 0.4983 = 8.0983, maar dat zou ook best 7.9 + 0.4991 = 8.3991 of 7.3 + 0.4975 = 7.7975 kunnen zijn. We concluderen dat we van de totale hoogte weten dat die gelijk is aan D = 8.0983 ± 0.3008 m. Merk op dat het helemaal geen nut heeft om al de cijfers achter de komma te vermelden als het toch nog 3 dm hoger of lager kan zijn, dus we schrijven gewoon D = 8.1 ± 0.3 m. Zie je hier de vuistregel voor optellen in terug?
Overigens is wat ik nu deed ook niet de officiele manier, want het zou natuurlijk erg toevallig zijn als de de meting van de vloerhoogte en die van de stellage allebei maximaal te hoog of te laag zouden zijn. Daarom moet je bij optellen eigenlijk de kwadraten van de fouten bij elkaar optellen en daar dan weer de wortel van nemen (kwadratisch optellen wordt dat ook wel genoemd).

We weten dat D = ¹/₂ g t², dus g = 2 D / t². We komen met onze meting dus uit op g = 2 · 8.1 / 1.35² = 8.8889 m/s², maar dat zou ook best 2 · 7.8 / 1.37² = 8.312 of 2 · 8.4 / 1.33² = 9.497 kunnen zijn. Op deze manier vinden we voor onze meting dus dat g = 8.9 ± 0.6 m/s². Overigens geldt ook hier dat dit een overschatting van de meetonnauwkeurigheid is, omdat het onwaarschijnlijk is dat de fouten in D en t elkaar precies versterken. De statistiek van foutenrekening leert dat we bij vermenigvuldigingen (en delingen) van onafhankelijke grootheden niet de absolute, maar de relatieve fouten kwadratisch bij elkaar op moeten tellen. In dit geval levert dat: D = 8.1 m ± 3.7 % en t = 1.35 s ± 1.5 %. Merk op dat de relatieve fout verdubbelt bij kwadrateren (hiervoor geldt niet het kwadratisch optellen omdat t vermenigvuldigt met t niet om twee onafhankelijke grootheden gaat) dus t² = 1.82 ± 3.0 %. De wortel van de som van de kwadraten van de relatieve fouten in D en t is gelijk aan 4.7 %. Dat is dus de betere schatting voor de meetonnauwkeurigheid in g:

g = 8.9 ± 0.4 m/s².

Wat is nu de conclusie die we hieruit trekken? We weten dat in de literatuur een andere zwaartekrachtsversnelling wordt vermeld: g = 9.8 m/s². Onze waarde wijkt daarvan af. Maar is dat gewoon te verklaren uit toevallige meetfouten, of is er meer aan de hand? Welnu, de afwijking is 2.25 keer de geschatte meetonnauwkeurigheid. Meestal wordt de grens gelegd bij 2 keer de meetonnauwkeurigheid, dus we hebben een significant lagere waarde voor g gevonden. Nu kunnen er twee dingen aan de hand zijn: 1) de theorieboekjes moeten herschreven worden, want wij hebben aangetoond dat g = 8.9 m/s² en niet 9.8 m/s², of 2) wij hebben een effect over het hoofd gezien en maken dus en systematische fout. Dat laatste is misschien wat waarschijnlijker. In dit geval zou je het verschil kunnen verklaren doordat we geen rekening hebben gehouden met de luchtweerstand van het steentje, waardoor het minder snel naar beneden zou vallen. Wanneer verschillende metingen (de waarde voor g uit de literatuur is ook maar afkomstig uit metingen) binnen de meetonnauwkeurigheid overeen komen, dan hadden we niet hoeven te zoeken naar een verklaring, dan zou het gewoon aan toevallige (aflees)fouten kunnen liggen.

Ik hoop dat dit voorbeeld een beetje duidelijk heeft gemaakt hoe je op de "officiele" manier met de (on)nauwkeurigheid van metingen om zou kunnen gaan. Ik heb geprobeerd in dit voorbeeld de allerbelangrijkste punten langs te laten komen, maar er is over het onderwerp foutenrekening natuurlijk nog veel meer te vertellen. Dat is stof voor een college op de universiteit; ik ga niet proberen dat hier in een paar regels te doen...
De eenvoudiger werkwijze is in feite de afspraak dat het opschrijven van g = 9.810 m/s² een afkorting is voor g = 9.810 ± 0.0005 m/s². De vuistregels voor optellen/aftrekken en vermenigvuldigen/delen komen dan overeen met het feit dat bij optellen/aftrekken de absolute meetfouten en bij vermenigvuldigen/delen de relatieve meetfouten gebruikt moeten worden.
Met vriendelijke groet,

Guido Terra

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 4 maart 2005