WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Economische toepassing van een stelsel van vergelijkingen

Ik loop vast bij het maken van een som. Als ik het stelsel invul in een (online) vergelijkingen editor,
dan krijg ik een ander antwoord dan ik krijg. Waar gaat het fout?

De vraag:
Een bedrijf heeft 4 serviceafdelingen: s1, s2, s3 en s4. Tevens heeft het bedrijf 3 productieafdelingen:
p1, p2 en p3. Verder zijn de volgende gegevens bekend:

Afdeling Kosten in euro
s1 238000
s2 1219000
s3 2355000
s4 298000

p1 398000
p2 1698000
p3 2457000

Verder zijn de volgende gegevens bekend over onderlinge geleverde diensten:

naar s1 s2 s3 s4 p1 p2 p3 Totaal
van
s1 - 10 - - 35 15 40 100
s2 20 - 10 - - 50 20 100
s3 - - - 30 - 40 30 100
s4 - 15 10 - 50 25 - 100

a. Beschrijf de relaties tussen de serviceafdelingen dmv een stelsel van vergelijkingen
b. Los dit stelsel van vergelijkingen op. Je mag gebruik maken van de volgende matrices:

10 -2 0 0
-1 10 0 -1,5
Als M= 0 -1 10 -1
0 0 -3 10

0,102 0,021 0,001 0,003
0,010 0,103 0,004 0,016
dan geldt M-1= 0,001 0,011 0,104 0,012
0,000 0,003 0,031 0,104

NB de getallen in bovenstaande matrix zijn afgerond.
Geef vervolgens aan hoe de kosten doorberekend moeten worden naar de productieafdelingen

Uitgangspunten:
Ik heb weinig kaas gegeten van matrices e.d. Het is echter mogelijk om dit stelsel van vergelijkingen op
andere manieren op te lossen, hetgeen ik dan ook gedaan heb. Als ik het stelsel invoer in een vergelijkingen
oplosser op internet(die van QuickMath), dan vind ik de volgende antwoorden:
s1=524691
s2=1433450
s3=2606340
s4=1079900
p1=1121590
p2=3805940
p3=3735470
Deze komen niet overeen met mijn antwoorden. Ik heb uiteindelijk een verschil van 100.804,00. Nu ben ik
benieuwd of ik ergens fout ga of dat QuickMath (of ik) tussendoor afrond.

Mijn uitwerking is als volgt (excuus voor de grote lappen tekst en de vele spaties en tabs. Deze heb ik
gebruikt in Word om het geheel overzichtelijk te krijgen)(ik zie tevens dat de opmaak volledig doorelkaar wordt gegooid door de breedte van dit invoer scherm. U doet er verstandig aan deze hele tekst te selecteren en vervolgens te kopieren naar Notepad. Dan staat het wel goed):

Antwoord op a:
s1=238.000+0,2s2
s2=1.219.000+0,1s1+0,15s4
s3=2.355.000+0,1s2+0,1s4
s4=298.000+0,3s3
p1=398.000+0,35s1+0,5s4
p2=1.698.000+0,15s1+0,5s2+0,4s3+0,25s4
p3=2.457.000+0,4s1+0,2s2+0,3s3

Antwoord op b:
s1=238.000+0,2s2
s2=1.219.000+0,1s1+0,15s4
s3=2.355.000+0,1s2+0,1s4
s4=298.000+0,3s3

Als eerste maken we de vergelijkingen leesbaar door alles te vermenigvuldigen met 10:
s1-0,2s2 = 238.000 *10
0,1s1 +s2 -0,15s4= 1.219.000 *10
-0,1s2 +s3 -0,1s4= 2.355.000 *10
-0,3s3 +s4= 298.000 *10

10s1 -2s2 = 2.380.000
s1 +10s2 -1¹/₂ s4= 12.190.000
-s2 +10s3 -s4= 23.550.000
3s3 =10s4 -2.980.000

Vervolgens isoleren we s3 in de laatste vergelijking:

10s1 -2s2 = 2.380.000
s1 +10s2 -1¹/₂ s4= 12.190.000
-s2 +10s3 -s4= 23.550.000
s3 =3,33 s4 -993.333,33

We vullen s3 in, in de andere vergelijkingen:

10s1 -2s2 = 2.380.000
s1 +10s2 -1¹/₂ s4 = 12.190.000
-s2 +10(3,33 s4-993.333,33)-s4= 23.550.000
s3 =3,33 s4 -993.333,33

10s1 -2s2 = 2.380.000
s1 +10s2 -1¹/₂ s4 = 12.190.000
-s2 +33,33 s4-9.933.333,33-s4 = 23.550.000
s3 =3,33 s4 -993.333,33

10s1 -2s2 = 2.380.000
s1 +10s2 -1¹/₂ s4 = 12.190.000
-s2 +32,33 s4 = 33.483.333,33
s3 =3,33 s4 -993.333,33

We isoleren nu s1 in de eerste vergelijking:

10s1 = 2.380.000 + 2s2
s1 +10s2 -1¹/₂ s4 = 12.190.000
-s2 +32,33 s4 = 33.483.333,33
s3 =3,33 s4 -993.333,33

s1 = 238.000 + 0,2s2
s1 +10s2 -1¹/₂ s4 = 12.190.000
-s2 +32,33 s4 = 33.483.333,33
s3 = 3,33 s4 -993.333,33

We vullen s1 in, in de andere vergelijkingen:

s1 = 238.000 + 0,2s2
(238.000 + 0,2s2) +10s2 -1¹/₂ s4 = 12.190.000
-s2 +32,33 s4 = 33.483.333,33
s3 = 3,33 s4 -993.333,33

s1 = 238.000 + 0,2s2
10,2 s2 -1¹/₂ s4= 11.952.000
-s2 +32,33 s4= 33.483.333,33
s3 = 3,33 s4 -993.333,33

Vergelijking 3 vermenigvuldigen we met 10,2:

s1 = 238.000 + 0,2s2
10,2 s2 -1¹/₂ s4= 11.952.000
-10,2s2 +329,8s4= 341.530.000
s3 = 3,33 s4 -993.333,33

Vervolgens tellen we vergelijking 2 en vergelijking 3 bij elkaar op. Hieruit volgt dan:

328,3s4 = 353.482.000

s4= 1.076.704,23

Vervolgens kunnen we met behulp van s4 en vergelijking 2 s2 bepalen:

10,2s2-1.615.056,35=11.952.000

10,2s2=13.567.056,35

s2=1.330.103,56

Vervolgens bepalen we s1 met behulp van vergelijking 1 en s2:

s1=238.000+0,2s2

s1=238.000+0,2*1.330.103,56

s1=504.020,71

Tot slot bepalen we s3 met behulp van vergelijking 4 en s4:

s3 = 3,33 s4 -993.333,33

s3 = 3,33 * 1.076.704,23 -993.333,33

s3 = 2.595.680,77

Samengevat de gevonden waarden voor de serviceafdelingen:

s1= 504.020,71
s2=1.330.103,56
s3=2.595.680,77
s4=1.076.704,23

Conclusie:
De totale kosten van de serviceafdelingen bedragen (s1+s2+s3+s4): 5.506.509,27

Met behulp hiervan kunnen we p1, p2 en p3 bepalen:

p1=398.000+0,35s1+0,5s4

p1= 398.000 + 0,35(504.020,71) + 0,5(1.076.704,23)

p1= 1.112.759,36

p2=1.698.000+0,15s1+0,5s2+0,4s3+0,25s4

p2=1.698.000 + 0,15(504.020,71) + 0,5(1.330.103,56) + 0,4(2.595.680,77) +
0,25(1.076.704,23)

p2= 3.746.103,25

p3=2.457.000+0,4s1+0,2s2+0,3s3

p3=2.457.000+0,4(504.020,71)+0,2(1.330.103,56)+0,3(2.595.680,77)

p3= 3.703.333,23

Conclusie:

p1= 1.112.759,36
p2= 3.746.103,25
p3= 3.703.333,23
___________ +
Totale kosten 8.562.195,84

Eigen middelen productieafdelingen
(398.000+1.698.000+2.457.000) 4.553.000,00
___________ -

Doorberekende kosten van serviceafdelingen 4.009.195,84
Totale kosten van de serviceafdelingen 4.110.000,00
___________ -
(Afrondings-)verschil 100.804,00

Gerrit
Student hbo - dinsdag 1 juni 2004

Antwoord

Ik heb lang moeten zoeken, want het is me nogal een verhaal dat je ons toegezonden hebt!
Methodisch gaat het allemaal zoals het moet. Of je de afrondingen die je toepast moet toestaan laat ik aan jou over. Het geeft uiteraard enig verschil, maar het hangt van de aard van het probleem af of afronding toegestaan is.

In regel 2 van het stukje tekst waarboven staat "antwoord op b" schrijf je s2 = 1.219.000 + 0,1s1 + 0,15s4
In het volgend tekstblokje wordt dat 0,1s1 + s2 - 0,15s4 = 1219000.
Voor 0,1s1 zou ik dan een minteken plaatsen, lijkt me.

Probeer eens of je nu beter in de buurt komt van wat je hoopte te vinden.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 3 juni 2004