WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Matrices (oef toelatingsex burg)

Dit is een reactie op vraag 22787

alvast bedankt voor uw antwoordt
ik kan helemaal volgen.
Allen die laatste stap is nieuw voor mij.
Wanneer is er sprake van hoofd- of nevenonbekenden?
Wanneer mag je deze gelijk stellen aan 0?
Kortom: graag wat meer info over die neven- en hoofdonbekenden.

dank bij voorbaat
bert
3de graad ASO - donderdag 22 april 2004

Antwoord

Er zijn nevenonbekenden als er meer onbekenden zijn dan (lin. onafhankelijke) vergelijkingen (= rang van de matrix: hier gelijk aan 2). Het aantal nevenonbekenden is gelijk aan het aantal onbekenden min de rang van de matrix (aantal onafh. vergelijkingen).

Stel n = 4

Er zijn dan 5 onbekenden en slechts 2 vergelijkingen. Het aantal nevenonbekenden (die men vrij mag kiezen) is dan gelijk aan 3.

We herleiden de rijcanonieke matrix terug tot een stelsel:

a₄ - a₂ - 2a₁ - 3a₀ = -7
a₃ + 2a₂ + 3a₁ + 4a₀ = 8

We kunnen de twee (hoofd)onbekenden a₄ en a₃ dus schrijven in functie van de andere (neven)onbekenden

a₄ = -7 + a₂ + 2a₁ + 3a₀
a₃ = 8 - 2a₂ - 3a₁ - 4a₀

Deze nevenonbekenden kunnen we nu ieder afzonderlijke willekeurige waarden geven.

Het gemakkelijkst is ze alle drie nul stellen.
Dan a₄ = -7 en a₃ = 8
Dus A^-4 = -7.A⁴ + 8.A³

Maar we mogen de drie nevenonbekenden ook andere willekeurige waarden geven. De twee hoofdonbekenden hangen dan natuurlijk af van deze waarden van de nevenonbekenden.

Bijvoorbeeld:
Stel a₂ = 1 , a₁ = 3 en a₀ = -2
Dan a₄ = -6 en a₃ = 5

Dus A^-4 = -6.A⁴ + 5.A³ + A² + 3.A - 2.I

In principe kan men gelijke welke 3 onbekenden als nevenonbekenden kiezen en de andere 2 onbekenden zijn dan uiteraard de hoofdonbekenden, maar gezien de vorm van de rijcanonieke matrix ligt het voor de hand a₄ en a₃ als hoofdonbekenden te nemen, omdat ze eenvoudig in functie van de andere onbekenden kunnen geschreven worden.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 23 april 2004