WisFaq!

Re: Matrices (oef toelatingsex burg)

alvast bedankt voor uw antwoordt
ik kan helemaal volgen.
Allen die laatste stap is nieuw voor mij.
Wanneer is er sprake van hoofd- of nevenonbekenden?
Wanneer mag je deze gelijk stellen aan 0?
Kortom: graag wat meer info over die neven- en hoofdonbekenden.

dank bij voorbaat

bert
22-4-2004

Antwoord

Er zijn nevenonbekenden als er meer onbekenden zijn dan (lin. onafhankelijke) vergelijkingen (= rang van de matrix: hier gelijk aan 2). Het aantal nevenonbekenden is gelijk aan het aantal onbekenden min de rang van de matrix (aantal onafh. vergelijkingen).

Stel n = 4

Er zijn dan 5 onbekenden en slechts 2 vergelijkingen. Het aantal nevenonbekenden (die men vrij mag kiezen) is dan gelijk aan 3.

We herleiden de rijcanonieke matrix terug tot een stelsel:

a₄ - a₂ - 2a₁ - 3a₀ = -7
a₃ + 2a₂ + 3a₁ + 4a₀ = 8

We kunnen de twee (hoofd)onbekenden a₄ en a₃ dus schrijven in functie van de andere (neven)onbekenden

a₄ = -7 + a₂ + 2a₁ + 3a₀
a₃ = 8 - 2a₂ - 3a₁ - 4a₀

Deze nevenonbekenden kunnen we nu ieder afzonderlijke willekeurige waarden geven.

Het gemakkelijkst is ze alle drie nul stellen.
Dan a₄ = -7 en a₃ = 8
Dus A^-4 = -7.A⁴ + 8.A³

Maar we mogen de drie nevenonbekenden ook andere willekeurige waarden geven. De twee hoofdonbekenden hangen dan natuurlijk af van deze waarden van de nevenonbekenden.

Bijvoorbeeld:
Stel a₂ = 1 , a₁ = 3 en a₀ = -2
Dan a₄ = -6 en a₃ = 5

Dus A^-4 = -6.A⁴ + 5.A³ + A² + 3.A - 2.I

In principe kan men gelijke welke 3 onbekenden als nevenonbekenden kiezen en de andere 2 onbekenden zijn dan uiteraard de hoofdonbekenden, maar gezien de vorm van de rijcanonieke matrix ligt het voor de hand a₄ en a₃ als hoofdonbekenden te nemen, omdat ze eenvoudig in functie van de andere onbekenden kunnen geschreven worden.

LL
23-4-2004