Vraag
Hoe primitiveer je $f(x)=(1+ax)e^{ax}$?
Uitwerking
De functie $f$ bestaat uit twee functies. We gaan partieel integreren.
Stelling
Als f en g differentieerbaar zijn dan is:
$
\int {f(x)g'\left( x \right)} \,dx = f\left( x \right) \cdot g(x) - \int {g(x) \cdot f'(x)\,dx}
$
De vraag is dan welke functie ik als $g'$ ga gebruiken. Het ligt dan voor de hand om $
\eqalign{g(x)={\frac{1}
{a}e^{ax} }}
$ te nemen.
Neem:
$
\eqalign{
& f(x) = 1 + ax \cr
& f'(x) = a \cr
& g(x) = \frac{1}
{a}e^{ax} \cr}
$
Dat geeft:
$
\eqalign{
& \int {\left( {1 + ax} \right) \cdot e^{ax} } dx = \cr
& \left( {1 + ax} \right) \cdot \frac{1}
{a}e^{ax} - \int {\frac{1}
{a}e^{ax} \cdot a\,\,dx} = \cr
& \left( {1 + ax} \right) \cdot \frac{1}
{a}e^{ax} - \int {e^{ax} dx} = \cr
& \left( {1 + ax} \right) \cdot \frac{1}
{a}e^{ax} - \frac{1}
{a}e^{ax} = xe^{ax} \cr}
$
examen vwo 2012 pilot tijdvak 1
