Dat gaat zo:
Voor: $ X_n = a \cdot X_{n - 1} + b $ is de directe formule gelijk aan:
$ X_n = A \cdot a^n + \overline u $
Hierbij is $A$ een constante en $\overline u$ is het dekpunt.
1. Het dekpunt
$ \eqalign{ & x = a \cdot x + b \cr & x - ax = b \cr & x(1 - a) = b \cr & x = {b \over {1 - a}} \cr} $
2. Invullen van het dekpunt
Je krijgt dan als expliciete formule:
$ \eqalign{X_n = A \cdot a^n + {b \over {1 - a}}} $
Je vult dan $ X_0 = 1000 $ in om $A$ uit te rekenen. Je krijgt:
$ \eqalign{ & 1000 = A \cdot a^0 + {b \over {1 - a}} \cr & 1000 = A + {b \over {1 - a}} \cr & A = 1000 - {b \over {1 - a}} \cr} $
Nu weet je ook de waarde van $A$. De directe formule wordt:
$ \eqalign{X_n = \left( {1000 - {b \over {1 - a}}} \right) \cdot a^n + {b \over {1 - a}}} $
