Dat gaat zo:
Voor: X_n = a \cdot X_{n - 1} + b is de directe formule gelijk aan:
X_n = A \cdot a^n + \overline u
Hierbij is A een constante en \overline u is het dekpunt.
1. Het dekpunt
\eqalign{ & x = a \cdot x + b \cr & x - ax = b \cr & x(1 - a) = b \cr & x = {b \over {1 - a}} \cr}
2. Invullen van het dekpunt
Je krijgt dan als expliciete formule:
\eqalign{X_n = A \cdot a^n + {b \over {1 - a}}}
Je vult dan X_0 = 1000 in om A uit te rekenen. Je krijgt:
\eqalign{ & 1000 = A \cdot a^0 + {b \over {1 - a}} \cr & 1000 = A + {b \over {1 - a}} \cr & A = 1000 - {b \over {1 - a}} \cr}
Nu weet je ook de waarde van A. De directe formule wordt:
\eqalign{X_n = \left( {1000 - {b \over {1 - a}}} \right) \cdot a^n + {b \over {1 - a}}}
