2. Voor de hand liggende oplossingen
Gegeven: ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0
Voor de hand liggende oplossingen zijn er drie gevallen te onderscheiden:
-
Als a+b+c+d+e=0
Je weet dan dat x=1 een oplossing is. -
Als a+c+e=b+d
Je weet dan dat x=-1 een oplossing is. -
Als b=k·a, c=0 en e=k·d
Je weet dan dat x=-k een oplossing is.
Voorbeeld 1
Los op: x^4 - 6x^3 - 4x^2 + 54x - 45 = 0
Er geldt: 1+-6+-4+54+-45=0, dus je weet dat x=1 een oplossing is dus je kunt ontbinden met x-1. Dat geeft de volgende uitwerking:
Uitwerking
\eqalign{ & x^4 - 6x^3 - 4x^2 + 54x - 45 = 0 \cr & \left( {x - 1} \right)\left( {x^3 - 5x^2 - 9x + 45} \right) = 0 \cr & x = 1 \vee x^3 - 5x^2 - 9x + 45 = 0 \cr & noot: \cr & x^3 - 5x^2 - 9x + 45 = 0 \cr & p = - \frac{{52}} {3} \cr & q = \frac{{560}} {{27}} \cr & W = \frac{{32i\sqrt 3 }} {3} \cr & x = 5 \cr & dus: \cr & x = 1 \vee \left( {x - 5} \right)\left( {x^2 - 9} \right) = 0 \cr & x = 1 \vee x = 5 \vee x = - 3 \vee x = 3 \cr}
Voorbeeld 2
Los op: x^4 - 4x^3 - 14x^2 + 36x + 45 = 0
Er geldt: 1-14+45=-4+36, dus je weet dan x=-1 een oplossing is. Je kunt ontbinden met x+1). Dit geeft de volgende uitwerking:
Uitwerking
\eqalign{ & x^4 - 4x^3 - 14x^2 + 36x + 45 = 0 \cr & \left( {x + 1} \right)\left( {x^3 - 5x^2 - 9x + 45} \right) = 0 \cr & \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x - 9} \right)^2 = 0 \cr & x = - 1 \vee x = 5 \vee x = - 3 \vee x = 3 \cr}
Voorbeeld 3
Los op: x^4 + 2x^3 + 3x + 6 = 0
Uitwerking
In 't algemeen:
\eqalign{ & ax^4 + akx^3 + dx + dk = \cr & ax^3 (x + k) + d(x + k) = \cr & \left( {ax^3 + d} \right)(x + k) \cr}
In dit geval:
\eqalign{ & x^4 + 2x^3 + 3x + 6 = 0 \cr & a = 1 \cr & b = 2 \cr & c = 0 \cr & d = 3 \cr & e = 6 \cr & k = 2 \cr & x^4 + 2x^3 + 3x + 6 = 0 \cr & \left( {x^3 + 3} \right)(x + 2) = 0 \cr & x = \root 3 \of 3 \vee x = - 2 \cr}
Opgelost...