5. Waarom zou je dat willen?

Breuksplitsen wordt vooral gebruikt in de integraalrekening om integralen te berekenen van rationale functies.

Voorbeeld 1

Bepaal: $
\eqalign{\int {{{{\rm{7x - 1}}} \over {{\rm{x}}^{\rm{2}} {\rm{ - 2x - 3}}}}dx}}
$

Met behulp van breuksplitsen kan je schrijven:

$
\eqalign{\int {{{{\rm{7x - 1}}} \over {{\rm{x}}^{\rm{2}} {\rm{ - 2x - 3}}}}dx = \int {\left( {{5 \over {x - 3}} + {2 \over {x + 1}}} \right)dx} }}
$

Omdat je weet dat: $
\eqalign{\int {{a \over {x + b}}dx = a \cdot \ln \left( {x + b} \right)}}
$ ben je er uit:

$
\eqalign{\int {{{7x - 1} \over {x^2  - 2x - 3}} = } \int {\left( {{5 \over {x - 3}} + {2 \over {x + 1}}} \right)dx = 5 \cdot \ln (x - 3) + 2 \cdot \ln (x + 1)}}
$

Voorbeeld 2

$
\eqalign{
  & \int {{{2x^2  - 1} \over {\left( {4x - 1} \right)\left( {x^2  + 1} \right)}}} \,dx =   \cr
  & \int {{{12x} \over {17\left( {x^2  + 1} \right)}} + {3 \over {17\left( {x^2  + 1} \right)}} - {{14} \over {17\left( {4x - 1} \right)}}\,dx}  =   \cr
  & {{6 \cdot \ln (x^2  + 1)} \over {17}} + {{3\arctan \left( x \right)} \over {17}} - {{7\ln \left( {4x - 1} \right)} \over {34}} \cr}
$

©2004-2024 WisFaq