Productregel of quotientregel?

Gegeven: $
f(x) = \Large\frac{{x^3  + 1}}
{{x^2  + 1}}
$

Gevraagd: bepaal de afgeleide.

Quotientregel

$
\eqalign{
  & f(x) = \frac{{x^3  + 1}}
{{x^2  + 1}}  \cr
  & f'(x) = \frac{{3x^2  \cdot \left( {x^2  + 1} \right) - \left( {x^3  + 1} \right) \cdot 2x}}
{{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }} = \frac{{3x^4  + 3x^2  - 2x^4  - 2x}}
{{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }} = \frac{{x^4  + 3x^2  - 2x}}
{{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }} \cr}
$ 

Dit zou je natuurlijk ook met de productregel kunnen doen, er moet natuurlijk wel hetzelfde uitkomen.

$
\eqalign{
  & f(x) = \frac{{x^3  + 1}}
{{x^2  + 1}} = \left( {x^3  + 1} \right)\left( {x^2  + 1} \right)^{ - 1}   \cr
  & f'(x) = 3x^2  \cdot \left( {x^2  + 1} \right)^{ - 1}  + \left( {x^3  + 1} \right) \cdot  - 1 \cdot \left( {x^2  + 1} \right)^{ - 2}  \cdot 2x  \cr
  & f'(x) = \frac{{3x^2 }}
{{x^2  + 1}} - \frac{{2x\left( {x^3  + 1} \right)}}
{{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }}  \cr
  & f'(x) = \frac{{3x^2 \left( {x^2  + 1} \right) - 2x\left( {x^3  + 1} \right)}}
{{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }}  \cr
  & f'(x) = \frac{{3x^4  + 3x^2  - 2x^4  - 2x}}
{{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }}  \cr
  & f'(x) = \frac{{x^4  + 3x^2  - 2x}}
{{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }} \cr}
$

Soms is de productregel handiger

$
\eqalign{
  & Als\,\,f(x) = \frac{{g(x)}}
{{h(x)}}\,\,dan:  \cr
  & f'(x) = \frac{{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}}
{{\left( {h(x)} \right)^2 }}  \cr
  & f(x) = \frac{1}
{{\sqrt {3x - 2} }}\,\,met\,\,g(x) = 1\,\,en\,\,h(x) = \sqrt {3x - 2}   \cr
  & Dus:g'(x) = 0\,\,en\,\,h'(x) = \frac{1}
{{2\sqrt {3x - 2} }} \cdot 3 = \frac{3}
{{2\sqrt {3x - 2} }}  \cr
  & f'(x) = \frac{{0 \cdot \sqrt {3x - 2}  - 1 \cdot \frac{3}
{{2\sqrt {3x - 2} }}}}
{{\left( {\sqrt {3x - 2} } \right)^2 }} = \frac{{ - 1 \cdot \frac{3}
{{2\sqrt {3x - 2} }}}}
{{3x - 2}} = \frac{{ - 3}}
{{2\left( {3x - 2} \right)\sqrt {3x - 2} }} \cr}
$

Het kan, het klopt, maar echt handig is het niet. Dit is handiger: 

$
\eqalign{
  & f(x) = \frac{1}
{{\sqrt {3x - 2} }}\, = \left( {3x - 2} \right)^{ - \frac{1}
{2}}   \cr
  & f'(x) =  - \frac{1}
{2}\left( {3x - 2} \right)^{ - 1\frac{1}
{2}}  \cdot 3 = \frac{{ - 3}}
{{2\left( {3x - 2} \right)\sqrt {3x - 2} }} \cr}
$

©2004-2024 WisFaq