Productregel of quotientregel?

Gegeven: f(x) = \Large\frac{{x^3  + 1}} {{x^2  + 1}}

Gevraagd: bepaal de afgeleide.

Quotientregel

\eqalign{   & f(x) = \frac{{x^3  + 1}} {{x^2  + 1}}  \cr   & f'(x) = \frac{{3x^2  \cdot \left( {x^2  + 1} \right) - \left( {x^3  + 1} \right) \cdot 2x}} {{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }} = \frac{{3x^4  + 3x^2  - 2x^4  - 2x}} {{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }} = \frac{{x^4  + 3x^2  - 2x}} {{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }} \cr}  

Dit zou je natuurlijk ook met de productregel kunnen doen, er moet natuurlijk wel hetzelfde uitkomen.

\eqalign{   & f(x) = \frac{{x^3  + 1}} {{x^2  + 1}} = \left( {x^3  + 1} \right)\left( {x^2  + 1} \right)^{ - 1}   \cr   & f'(x) = 3x^2  \cdot \left( {x^2  + 1} \right)^{ - 1}  + \left( {x^3  + 1} \right) \cdot  - 1 \cdot \left( {x^2  + 1} \right)^{ - 2}  \cdot 2x  \cr   & f'(x) = \frac{{3x^2 }} {{x^2  + 1}} - \frac{{2x\left( {x^3  + 1} \right)}} {{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }}  \cr   & f'(x) = \frac{{3x^2 \left( {x^2  + 1} \right) - 2x\left( {x^3  + 1} \right)}} {{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }}  \cr   & f'(x) = \frac{{3x^4  + 3x^2  - 2x^4  - 2x}} {{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }}  \cr   & f'(x) = \frac{{x^4  + 3x^2  - 2x}} {{\left( {x^2  + 1} \right)^2 }} \cr}

Soms is de productregel handiger

\eqalign{   & Als\,\,f(x) = \frac{{g(x)}} {{h(x)}}\,\,dan:  \cr   & f'(x) = \frac{{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}} {{\left( {h(x)} \right)^2 }}  \cr   & f(x) = \frac{1} {{\sqrt {3x - 2} }}\,\,met\,\,g(x) = 1\,\,en\,\,h(x) = \sqrt {3x - 2}   \cr   & Dus:g'(x) = 0\,\,en\,\,h'(x) = \frac{1} {{2\sqrt {3x - 2} }} \cdot 3 = \frac{3} {{2\sqrt {3x - 2} }}  \cr   & f'(x) = \frac{{0 \cdot \sqrt {3x - 2}  - 1 \cdot \frac{3} {{2\sqrt {3x - 2} }}}} {{\left( {\sqrt {3x - 2} } \right)^2 }} = \frac{{ - 1 \cdot \frac{3} {{2\sqrt {3x - 2} }}}} {{3x - 2}} = \frac{{ - 3}} {{2\left( {3x - 2} \right)\sqrt {3x - 2} }} \cr}

Het kan, het klopt, maar echt handig is het niet. Dit is handiger: 

\eqalign{   & f(x) = \frac{1} {{\sqrt {3x - 2} }}\, = \left( {3x - 2} \right)^{ - \frac{1} {2}}   \cr   & f'(x) =  - \frac{1} {2}\left( {3x - 2} \right)^{ - 1\frac{1} {2}}  \cdot 3 = \frac{{ - 3}} {{2\left( {3x - 2} \right)\sqrt {3x - 2} }} \cr}

©2004-2025 WisFaq