De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Telproblemen

Telprobleem

Als je een pincode mag invullen met 4 cijfers. Hoeveel mogelijkheden zijn er dan als je er al twee als 7 mag invullen op willekeurige positie. en hoeveel mogelijkheden zijn er als er drie maal een 7 inzit. ik ben op zoek naar de logische formule. beredeneren red ik wel omdat het maar om 4 cijfers gaat. maar wat als het een pincode van 9 cijfers is?

Johan
8-2-2020

Antwoord

Printen
Voor je twee zevens heb je
$$\binom92
$$mogelijke posities.

Voor de zeven andere cijfers heb je $9^7$ mogelijkheden als die cijfers anders moeten zijn. In totaal dus
$$\binom92\times 9^7
$$mogelijkheden, algemeen: $\binom n2\cdot 9^{n-2}$.
Als de andere cijfers ook zevens zouden kunnen zijn wordt het wat lastiger omdat je dubbel gaat tellen als je gewoon $\binom92\cdot10^7$ zou nemen.

Dan neem je het totaal aantal pincodes, $10^n$, en trek de aantallen met nul zevens en precies een zeven er van af:
$$10^n - 9^n -n\cdot 9^{n-1}
$$

kphart
8-2-2020


Aantal combinaties

Ik zou graag willen weten hoeveel combinaties er mogelijk zijn van het volgende.

Ik heb 3 smaken waarvan er maximaal 2 gebruikt mogen worden, er mag ook voor 1 smaak gekozen geworden.

Er zijn 18 extra ingrediŽnten waarvan er 3 mogen worden gekozen. Ook is het mogelijk om 1 of 2 smaken te kiezen en je mag ook 1 smaak dubbel doen met 1 andere smaak.
  • Hoeveel combinaties zijn er mogelijk?

Niels
13-2-2020

Antwoord

Printen
Hallo Niels,

Voor dit soort problemen is het erg belangrijk dat de vraag duidelijk en eenduidig wordt gesteld. Dat is hier niet het geval. Je hebt het over 3 smaken waarvan maximaal 2 gebruikt mogen worden. Later heb je het opnieuw over smaken die al dan niet dubbel gekozen mogen worden. Gaat het hier over hetzelfde of weer iets anders? En bij de eerste zin: mag daar een smaak dubbel gekozen worden? En zo ja: hoe vaak mag/moet er gekozen worden?

Kortom: stel je vraag duidelijk en vooral eenduidig, dan kunnen we je wellicht verder helpen.

GHvD
13-2-2020


Re: Aantal combinaties

We hebben 3 smaken Melk puur en wit en we hebben 18 (bijvoorbeeld aardbei of hazelnoot enz..) extra ingrediŽnten die in alle combinaties van de 3 (max 2) smaken kunnen met een maximaal van 3 extra ingrediŽnten.

Niels
13-2-2020

Antwoord

Printen
Hallo Niels,

Hier word ik niet wijzer van. Je geeft nog niet aan wat je precies bedoelt met '1 smaak dubbel doen'. Hoe vaak moet precies gekozen worden, en waaruit kan dan gekozen worden? Wat is 'alle combinaties van de 3 (max 2) smaken'?

Je zult echt een eenduidige formulering van je vraag moeten geven, anders komen we niet verder.

GHvD
13-2-2020


Re: Re: Combinaties

De groep kookt overigens 6x per jaar. Het is de bedoeling dat iedereen met elkaar heeft gekookt en elk gerecht maakt. Ik weet dat niet binnen die 6x kan, maar het is de bedoeling dat er zo veel mogelijk variatie is binnen die 6x. Dus niet dat iemand binnen die 6x al 4x hetzelfde gerecht heeft gemaakt.

Stan F
20-2-2020

Antwoord

Printen
Inderdaad, je hebt zeven rondes nodig om iedereen een keer met elkaar te laten werken.

Ik zou dan de eerste zes regels van het tabelletje nemen; dan kookt in ieder geval nooit een stel twee keer samen. En bij zes keer koken kan iedereen verwachten meer dan ťťn keer hetzelfde te maken.

Door de regels dan wat te herschikken kun je voor iedereen wat variatie aanbrengen: Bijvoorbeeld om te beginnen door $A$ volgens $1\to2\to3\to4\to1\to2$ te laten koken, en $B$ volgens $1\to3\to4\to1\to2\to3$. Daarna kun je de andere paren plaatsen.

Er niet echt een panklare formule, maar met wat proberen kom je een heel eind.

kphart
20-2-2020


Re: Aantal combinaties

Beste,

Ik ben heel benieuwd naar het antwoord, heeft u enig idee?

Niels
21-2-2020

Antwoord

Printen
Hallo Niels,

Zoals ik in mijn vorige reacties aangaf (zie Aantal combinaties en Re: Aantal combinaties) is nogal onduidelijk wat precies gekozen kan worden en hoe vaak. Ik neem even aan dat je wilt weten hoeveel varianten chocolade(?) je kunt maken wanneer je:
  • als basis kunt kiezen uit melk, puur en wit (3 smaken);
  • per basissmaak 0, 1, 2 of 3 verschillende extra ingrediŽnten mag toevoegen uit 18 mogelijkheden.
Het aantal mogelijkheden voor de basissmaak is duidelijk: hiervoor zijn 3 mogelijkheden.

Per basissmaak kan je in ieder geval kiezen om gťťn extra ingrediŽnt toe te voegen, dit is 1 mogelijke keuze voor de toevoegingen.

Je kunt ook ťťn extra ingrediŽnt toevoegen. Hiervoor zijn 18 mogelijkheden.

Het aantal mogelijkheden om twee extra ingrediŽnten toe te voegen, is het aantal combinaties van 2 uit 18. Dit aantal is 153.

Tot slot kan je ook drie extra ingrediŽnten toevoegen. Dit aantal mogelijkheden is het aantal combinaties van 3 uit 18: 816.

Het aantal keuzemogelijkheden voor de extra ingrediŽnten is zodoende:
1+18+153+816=988.

Dit aantal geldt voor alle drie de smaken, dus je kunt 3∑988=2964 varianten chocolade maken, uitgaande van 3 basissmaken met maximaal 3 verschillende extra ingrediŽnten.

GHvD
21-2-2020


Twaalf verschillende boeken verdelen over 10 personen

Op hoeveel manieren kun je twaalf verschillende boeken verdelen over tien personen waarbij elke persoon minstens ťťn boek krijgt?

Nisrin
4-3-2020

Antwoord

Printen
Hallo Nisrine,

Bepaal eerst het aantal manieren waarop je elke persoon precies 1 boek kunt geven. Bepaal daarna het aantal manieren waarop je de overgebleven boeken op een willekeurige manier kunt verdelen.

GHvD
4-3-2020


Tennissen

Acht vrienden gaan tennissen.
  1. Hoeveel verschillende partijen enkelspel kunnen ze spelen?
  2. Hoeveel verschillende partijen dubbelspel kunnen ze spelen?

ojay
9-3-2020

Antwoord

Printen
  1. $\eqalign{\binom{8}{2}}$
  2. $\eqalign{3\cdot\binom{8}{4}}$
En? Wat had je zelf al geprobeerd?

kphart
9-3-2020


Hoeveel scoreverlopen zijn er mogelijk?

Geachte

Ik weet niet hoe dat ik aan de volgende oefeningen moet beginnen. Ik denk dat ik een combinatie moet gebruiken maar verder weet ik niet hoe dat ik deze oefening kan oplossen.

Bij een voetbalwedstrijd is de eindstand 4-3
  1. Hoeveel scoreverlopen zijn er mogelijk?
    (vb van een scoreverloop:1-0,2-0,2-1,..)
  2. Hoeveel scoreverlopen zijn er mogelijk als de stand bij de rust 3-1 was?
Alvast bedankt

Yosra
9-3-2020

Antwoord

Printen
Hallo Yosra,

Het klopt dat je combinaties kunt gebruiken. Bedenk het volgende:

Er is 7 keer gescoord. Als T een doelpunt voor de thuisploeg is, en U een doelpunt voor de uitploeg, dan zijn mogelijke scoreverlopen:

T T U U T U T
U T U T U T T
T T T U U U T
.....

Kortom: hoeveel rijtjes T's en U's kan je maken met 4 keer een T en 3 keer een U? Anders gezegd: op hoeveel manieren kan je 4 T's verdelen over 7 plekken? Dat is het aantal combinaties van 4 uit 7.

Voor vraag b) bepaal je eerst het aantal mogelijkheden om bij de ruststand 3-1 te komen. Na de rust moet de thuisploeg nog 1 keer scoren en de uitploeg nog 2 keer. Voor het scoreverloop na rust kan je op dezelfde manier het aantal mogelijkheden bepalen. Vermenigvuldig deze twee aantallen om het totaal aantal mogelijkheden te vinden.

Lukt het hiermee?

GHvD
9-3-2020


Koffiekransje

juffrouw Laura heeft 12 vriendinnen

(a) Op hoeveel manieren kan ze 6 van deze vriendinnen uitnodigen indien 2 van de 12 vriendinnen zussen zijn en het onbeleefd is om slechts 1 uit te nodigen?

(b) Op hoeveel manieren kan ze 6 vriendinnen uitnodigen indien 2 van de 12 vriendinnen ruzie hebben en elkaar niet willen ontmoeten?

ojay
9-3-2020

Antwoord

Printen
(a) Maak onderscheid tussen de situaties waarbij juffrouw Lara:
  • de twee zussen uitnodigt + 4 anderen, of
  • 6 andere vriendinnen uitnodigt
(b) Maak onderscheid tussen de situaties waarbij juffrouw Lara:
  • De ene ruziemakende vriendin uitnodigt + 5 andere vriendinnen, of
  • De andere ruziemakende vriendin uitnodigt + 5 andere vriendinnen, of
  • 6 andere vriendinnen uitnodigt

GHvD
9-3-2020


Het binomium van Newton

Het voorbeeld:

$
\sum\limits_{k = }^n {\left( {\matrix{
n \cr
k \cr

} } \right)} = 2^n
$

Waar komt die twee vandaan?

j hoev
13-4-2020

Antwoord

Printen
Als je naar de driehoek van Pascal kijkt dan geldt dan de som in de $n$-de rij gelijk aan $2^n$ is. Je kunt het beschouwen als een boomdiagram. Bij elke volgende rij twee keer zoveel takken.

Rij 0: 1 = 1
Rij 1: 1 + 1 = 2
Rij 2: 1 + 2 + 1 = 4
Rij 3: 1 + 3 + 3 + 1 = 8
Rij 4: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
...
Rij n: 1 + n + ... = 2n

Naschrift

$
\left( {1 + 1} \right)^n = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\matrix{
n \cr
k \cr

} } \right)} = 2^n
$

WvR
13-4-2020


Combinaties

Beste allemaal,

ik heb een vraag ivm combinaties namelijk deze:

Voor het namiddagprogramma 'De tijd van Toen' worden de bewoners van een bejaardetehuis gevraagd een verzoeknummer in te dienen. Van de 25 inzendingen zijn er 15 meezingers en 10 luisterliedjes. Op hoeveel manieren kan men uit deze suggesties een programma van 10 nummers samenstellen (de volgorde maakt niet uit).

a) er geen andere voorwaarden zijn?

$\to$ deze vond ik zelf en het antwoord hierop is 3.268.760 manieren WANT 25!/10!∑15!

b) men exact 6 meezingers wil kiezen?
c) men minstens 6 meezingers wil kiezen?

ik weet niet hoe ik hieraan moet beginnen en welke formule ik hiervoor moet gebruiken ik weet wel dat bij c je dan ook 7,8,9 of 10 meezingers kan hebben.

Mirte
23-4-2020

Antwoord

Printen
Hallo Mirte,

Het antwoord op vraag a is juist. Je moet 10 'dingen' kiezen uit 25, dat noemen we het aantal combinaties van 10 uit 25. Je hebt de juiste formule gevonden.

Vraag b. pak je op dezelfde manier aan. Alleen: je moet bedenken dat in totaal 10 nummers gekozen moeten worden. Je moet zelf bedenken dat de vraag dus eigenlijk is:
  • "Op hoeveel manieren kan je 6 meezingers kiezen en 4 luisterliedjes?"
Dat betekent: 6 'dingen' uit 15, en 4 'dingen' uit 10. Met jouw formule wordt dit:

15!/(6!∑9!) x 10!/(4!∑6!)

Vraag c. gaat dan op dezelfde manier, je moet dezelfde berekening uitvoeren voor 7 meezingers + 3 luisterliedjes, 8 meezingers + 2 luisterliedjes, enz.

GHvD
24-4-2020



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2020 WisFaq - versie IIb