De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Rijen en reeksen

Re: Convergentie vraagstuk

Ok maar wanneer mag je asymptotische equivalentie op oneindig dan gebruiken?

Mike
15-4-2022

Antwoord

Printen
Daar is geen eenduidig antwoord op te geven.
Bijvoorbeeld
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac1n}{1-\frac1n}=1
\text{ en }
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac1{n^2}}{1-\frac1n}=1
$$maar
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac1n)}{\ln(1-\frac1n)}=-1
\text{ en }
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac1{n^2})}{\ln(1-\frac1n)}=0
$$Of
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n+\sqrt n}{n-\sqrt n}=1
$$maar
$$\lim_{n\to\infty}\frac{e^{n+\sqrt n}}{e^{n-\sqrt n}}=\infty
$$Zo kun je voorbeelden blijven genereren tegen zo ongeveer elke algemene stelling die je zou willen gebruiken.

Daarom gebruik ik die equivalentie alleen op kladpapier en bepaal ik voor alle zekerheid toch expliciet de uiteindelijke limiet.

kphart
15-4-2022


Re: Re: Convergentie vraagstuk

Ja ik vind het ook wat raar.
Maar ik vraag me af of het een groot verschil geeft of de limiet nu -1 is of 0.
Wij gebruiken om convergentie of divergentie aan te tonen verschillende testen. bv verhoudingstest,vergelijkingstest,integraaltest,...

en de verhoudingstest zegt dat als lim n $\to $ $\infty $ Un+1/un $<$ 1 de reeks divergeert en 0 en -1 zijn beide kleiner dan 1.

ik weet niet of ik de oefeningen goed aan het oplossen ben. maar ik kom wel altijd het juiste resultaat uit.

als ik de grafiek van 1/ln(cosh(n)) teken en de grafiek van 1/n dan zijn deze toch equivalent aan elkaar op oneindig.

bovendien staat er in mijn boek dat je altijd kan proberen de reeks naar de vorm c/n^p te brengen op oneindig. Maar het moet echt equivalent zijn aan dit.

Mike
15-4-2022

Antwoord

Printen
Je bent nu een beetje het onderwerp aan het veranderen. We begonnen met: als het quotiŽnt van twee rijen $a_n/b_n$ limiet $1$ heeft geldt dat dan ook voor de rijen die uit de gegeven rijen worden gemaakt: heeft $f(a_n)/f(b_n)$ dan ook automatisch limiet $1$?

We hebben gezien dat dat heel vaak niet het geval is en dat er in de voorbeelden die je genoemd hebt meer aan de hand moet zijn dan alleen maar $\lim_n\frac{a_n}{b_n}=1$, omdat het daar wel goed afloopt.
Er geldt $\lim_n\frac{n+1}n=1$ maar $\lim_n{n^{n+1}}{(n+1)^n}=\infty$; dus $\lim_n\frac{a_n}{b_n}=1$ is niet sterk genoeg om te kunnen concluderen dat $\lim_n\frac{a_n^{b_n}}{b_n^{a_n}}=1$.
In je eerste voorbeeld hadden we $n+\frac1n$ en $n$; daar was die limiet wel gelijk aan $1$. Er moet dus meer aan de hand zijn dan alleen $\lim_n\frac{a_n}{b_n}=1$ (en er is meer aan de hand: er geldt ook nog $\lim_n(a_n-b_n)=0$).

Je dwaalt nu af naar convergentietesten voor reeksen; dat is een ander onderwerp.

Je opmerking over het quotiŽntencriterium klopt niet geheel: die is voor reeksen met positieve termen, dus die limiet, als hij bestaat, is nooit negatief.
Die test faalt jammerlijk bij reeksen die niet positief zijn: neem $\sum_n(-1)^n$; dan geldt $\lim_n\frac{u_{n+1}}{u_n}=-1$ maar de reeks convergeert niet.

Bij het voorbeeld van $1/\ln\cosh n$ is ook meer aan de hand: het verschil tussen $\cosh n$ en $e^n/2$ gaat naar nul, en dat is (veel) sterker dan asymptotische equivalentie. Je had gewoon geluk dat het goed afliep. De reden dat het goed afliep: Voor $x,y\ge1$ geldt $|\ln x-\ln y|\le|x-y|$ dus $|\ln\cosh n - \ln(e^n/2)|=|\ln\cosh n-n+\ln2|$ convergeert naar nul.

Werken met asymptotische equivalentie kan je op het goede spoor zetten (ook op het spoor van een geschikte $p$ in $c/n^p$) maar aan het eind moet je wel laten zien dat wat je gevonden hebt ook echt werkt.

kphart
15-4-2022


Re: Re: Re: Convergentie vraagstuk

wat bedoel je met "dat wat je gevonden hebt ook echt werkt".
als p$>$1 dan convergeert de reeks toch ? en p$\le$1 divergeert.
Deze testen zijn inderdaad voor reeksen met positieve termen. Anders moet je idd nog kijken naar de reeks van absolute waarde maar in dit voorbeeld gaat het over positieve termen. Ik heb het al de hele tijd over convergentietesten van reeksen.

Het vorige voorbeeld geef ik toe dat ik fout was. Maar in dit geval lim n $\to $ $\infty $ (1/n )/(1/ln(cosh(n))) toch 1 dus de asymptotische equivalentie klopt toch ?

Mike
15-4-2022

Antwoord

Printen
Er zijn twee dingen door elkaar gaan lopen.

1. Convergentiecriteria voor reeksen, zoals:
a. Als twee rijen met positieve termen, $a_n$ en $b_n$, asymptotisch equivalent zijn dan geldt: de reeks $\sum_na_n$ convergeert dan en slechts dan als $\sum_nb_n$ convergeert en hiervan afgeleid:
b. als $a_n$ asymptotisch equivalent is met $C/n^p$ dan is $\sum_na_n$ convergent dan en slechts dan als $p $>$ 1$.

2. Voor een reeks met `ingewikkelde' termen een asymptotisch equivalente reeks zoeken met `makkelijkere' termen. In je vraag gebruikte je in je zoektocht naar die `makkelijkere' reeks eigenschappen van asymptotische equivalentie die niet algemeen geldig zijn.
Daarom schreef ik dat als je (op je kladpapier) ets van de vorm $C/n^p$ gevonden hebt je moet laten zien dat het echt werkt; en met dat laatste bedoelde ik niet dat $\sum_n n^{-p}$ convergeert voor $p $>$ 1$, maar dat inderdaad
$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{Cn^{-p}}=1
$$en in dit geval dus expliciet nagaan dat die $1/n$ correct is en dat
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\cosh n}{n^{-1}}=1
$$je stappen onderweg garanderen niet dat dat automatisch het geval is.

kphart
16-4-2022


Re: Re: Re: Re: Convergentie vraagstuk

Bij de reeks n2∑sin(n-3)∑ln(((n+1)/n)1/3)
zat ik echt vast. Uiteindelijk heb ik hem gevonden.
Zou u mijn aanpak hier willen controleren.

Ik heb eerst de verhoudingstest gebruikt. maar leidde niet tot een resultaat.
dan ben ik overgestapt op de test van raabe en dan kwam ik er wel.

Volgens mij is mijn berekening te lang

Mike
16-4-2022

Antwoord

Printen
Uit wat op je foto staat kan ik geen wijs worden. Ik zie niet waar de cosinussen bovenaan vandaan komen, en de onderste regel gaat wel erg snel ik zie niet hoe je op die `equivalente' breuk uitkomt.
En ik zie ook de uitdrukking voor de test van Raabe niet.

Het kan wat efficiŽnter: we hebben
$$a_n=n^2\cdot\sin(n^{-3})\cdot\ln\left(\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\frac13}\right)
$$Daar kunnen we dit van maken:
$$\frac1n\cdot\frac{\sin(n^{-3})}{n^{-3}}\cdot\frac13\ln\left(1+\frac1n\right)=
\frac13\frac1n\cdot\frac{\sin(n^{-3})}{n^{-3}}\cdot\frac1n\frac{\ln\left(1+n^{-1}\right)}{n^{-1}}
$$Omdat $\lim_n\frac{\sin(n^{-3})}{n^{-3}}=1$ en $\lim_n\frac{\ln\left(1+n^{-1}\right)}{n^{-1}}=1$ volgt nu dat
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\frac1{3n^2}}=1
$$De reeks convergeert dus.

Op mijn kladpapier deed ik het volgende: $\sin(n^{-3})\sim n^{-3}$, en
$\frac13\ln(1+\frac1n)\sim\frac1{3n}$ en dus
$$a_n\sim n^2\cdot n^{-3}\cdot\frac1{3n}\sim\frac1{3n^2}
$$en toen heb ik netjes de limiet uitgerekend.

Naschrift: de beheerder heeft de andere afbeeldingen gevonden en ik kan kort zijn: je beide redeneringen kloppen niet.

kphart
16-4-2022


Maclaurinreeks

Hallo

Ik moet dus een Maclaurinreeks opstellen voor f(x) = sin3(2x)
Er is een tip gegeven dat: sin 3x = 3sinx -4sin3x

Ik heb die tip proberen om te vormen naar: sin3(x) = -1/4(sin3x - 3sinx)

Maar ik geraak er nog steeds niet uit.

Alvast bedankt

nvt
27-5-2022

Antwoord

Printen
En nu $x$ en $3x$ in de reeks van de sinus invullen (die ken je toch wel?); dat geeft twee reeksen $R_1(x)$ voor $\sin x$ en $R_2(x)$ voor $\sin3x$ en dan het verschil
$$\frac34R_1(x)-\frac14R_2(x)
$$term voor term uitrekenen.

kphart
27-5-2022


Hoe p en q bepalen in een functievoorschrift?

Hallo

Gegeven de functie $f$ met voorschrift:

$
\eqalign{f(x) = \frac{{px^3 + 4x^2 - 5x - q}}
{{7x^2 - 14x - 21}}}
$

De vraag is om $p$ en $q$ te bepalen als we weten dat $
\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x)
$ en $
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x)
$ eindig zijn.

Ik zou totaal niet weten hoe ik aan deze oefening moet beginnen.
Hopelijk kan iemand helpen.

Tom
11-6-2022

Antwoord

Printen
Als je de limieten bepaalt neem je meestal apart de limieten van teller en noemer en deel je die door elkaar voor het eindantwoord. Dat gaat mis als de limiet van de noemer gelijk is aan $0$. En hier gaat het bij beide limieten mis want $7(x^2-2x-3)=7(x+1)(x-3)$, dus de limieten van de noemer zijn gelijk aan $0$.

Als de limiet van de teller dan ongelijk aan $0$ is bestaat de limiet niet; je moet dus zorgen dat de limieten van de teller ook gelijk aan $0$ zijn.

Als je nu eist dat $\lim_{x\to-1}px^3+4x^2-5x-q$ en $\lim_{x\to3}px^3+4x^2-5x-q$ gelijk aan $0$ zijn dan krijg je twee vergelijkingen voor $p$ en $q$; los die maar op.

kphart
11-6-2022


De som van drie termen

66 is de som van drie termen. De eerste term is 3 meer dan de tweede term. Wat is de derde term?

Najim
29-8-2022

Antwoord

Printen
Als de tweede term gelijk aan $x$ is en de derde term gelijk aan $y$ dan geldt:

$x + 3 + x + y = 66$

Ofwel: $y = 63 - 2x$

Maar daarmee ligt de derde term niet vast. Neem bijvoorbeeld $x=1$ dan krijg je:

$4, 1, 61 $

Maar je kunt ook $x=11$ nemen:

$14, 11, 41 $

Enz...

Was je misschien nog iets vergeten te melden? Wat is precies de opgave?

WvR
29-8-2022


home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3