WisFaq!

Je hebt een dubbele pijl gebruikt en die wijst al twee kanten op, dus er verandert niets als je `het omgekeerde' bekijkt.

En: hetgeen achter die pijl staat "de rij der partiële sommen convergeert" is de definitie van hetgeen vóór de pijl staat.
kphart
1-2-2023

Verdamping

In een meer verdampt elk jaar 7% van de aanwezige hoeveelheid water en er komt door de neerslag elk jaar 84·10⁴ 𝑚³ bij. Op 1 januari 2014 is er 16·10⁶ 𝑚³ water in het meer.
In welk jaar is er op 1 januari voor het eerst minder dan 14·10⁶ 𝑚³ water in het meer?
Hoeveel m³ water is er op de lange duur in het meer aanwezig?
Het antwoord van a. is op 1 januari 2024 en b. is 12×10⁶ m³ water.
Hoe kan ik dit oplossen?
Emilli
11-2-2023

Antwoord

Het antwoord staat op Re: Verdamping. Lukt dat? Anders nog maar even reageren.

Naschrift
De eindwaarde bereken je door te stellen dat W niet meer verandert: W = 0.93W + 840.000, waaruit W = 12.000.000
WvR
14-2-2023

Onderzoek 4x(1-x)

Geachte,

Er wordt gevraagd om het volgende te onderzoeken/ berekenen.
Gegeven de functie xn ← 4⋅xn–1(1–xn–1)
met x1 = sin2( 2π( 1/3 + 1/31 + 1/32 ) )
wat zijn x11, x111 en x1111 ?

Nu, ik heb geen idee hoe ik hier aan moet beginnen want op het eerste zicht lijkt het vrij complex om te berekenen.

Kan uw mij verder helpen?

Alvast bedankt

Yosra
Yosra
10-3-2023

Antwoord

Ik hoop dat er het volgende staat: $x_1=\sin^2\alpha$, met $\alpha=2\pi(\frac13+\frac1{31}+\frac1{32})$.
In dat geval werkt de recursie $x_n=4x_{n-1}(1-x_{n-1})$ heel mooi:
$$x_2=4\sin^2\alpha(1-\sin^2\alpha)=4\sin^2\alpha\,\cos^2\alpha=(2\sin\alpha\,\cos\alpha)^2 =\sin^22\alpha
$$Het lijkt er dus op dat je elke keer de hoek verdubbelt.

Onderzoek dat eens.
kphart
10-3-2023

Re: Onderzoek 4x(1-x)

Geachte,

Ik snap de berekening, maar ik zou niet weten hoe ik hier verder mee moet werken. Ik snap in feite niet wat er precies berekend moet worden?
Yosra
13-3-2023

Antwoord

Zie het antwoord op je volgende vraag.
kphart
13-3-2023

Re: Onderzoek 4x(1-x)

Geachte,

Zou ik het handig zijn om eerst de startwaarde te berekenen? Of xn ← 4⋅xn–1(1–xn–1) dit uit te werken? dan levert dit de volgende antwoord op: 4xn–1(1–xn–1) = 4xn–1 – 4(xn–1)2 .
Yosra
13-3-2023

Antwoord

Als je doorgaat vind je $x_3=\sin^24\alpha$, $x_4=\sin^28\alpha$, en in het algemeen
$$x_n=\sin^2(2^{n-1}\alpha)
$$Dus $x_{11}=\sin^2(2^{10}\alpha)=\sin^2(1024\alpha)$; ik denk dat de bedoeling is dat je nu
$$2048\pi\left(\frac13+\frac1{31}+\frac1{32}\right)
$$reduceert tot een hoek in het interval $[\frac\pi2,\frac\pi2]$ en zo een eenvoudige uitdrukking voor $x_{11}$ maakt. En idem voor $x_{111}$ en $x_{1111}$.

kphart
13-3-2023

Re: Onderzoek 4x(1-x)

Ik ben ook niet mee met de volgende stap:

4 sin²α (1-cos ²α )= 4 sin²α cos²α, moet het niet 4sin²α (1-sin²α) zijn?
Yosra
13-3-2023

Antwoord

Dat was inderdaad een tikfout; ik heb hem verbeterd.
kphart
13-3-2023

Re: Re: Onderzoek 4x(1-x)

Geachte,

Heel erg bedankt voor de uitleg.
Dus in de laatste stap is het de bedoeling om die hoek te vereenvoudigen, maar ik kom de volgende waarde uit: 147625π/186 uit. Hoe kan ik dit reduceren tot een hoek in de gegeven interval?

Alvast bedankt

Yosra
Yosra
14-3-2023

Antwoord

Je kunt delen met rest: $147625=793\cdot186+127$, dus $\frac{147625}{186}\pi=793\pi+\frac{127}{186}\pi$. Gebruik dat $\sin^2x$ periodiek is met periode $\pi$, dus je hebt te maken met $\sin^2\frac{127}{186}\pi$ en dat is ook gelijk aan $\sin^2(\pi-\frac{127}{186}\pi)=\sin^2\frac{59}{186}\pi$.

Die periodiciteit kun je ook gebruiken om het rekenwerk te verminderen.
Je hebt je maken met
$$\left(\frac{2^n}3 +\frac{2^n}{31}+\frac{2^n}{32}\right)\pi
$$Vanaf $n=5$ is $2^n/32$ geheel, dus die kun je dan wegens de periodiciteit weglaten.

Voor $2^n/31$ geldt dat je maar vijf mogelijkheden hebt: $1/31$, $2/31$, $4/31$, $8/31$, $16/31$; dan krijg je $32/31=1+1/31$, en het hele deel kun je weglaten, dus heb je weer met $\frac1{31}\pi$ te maken.

Voor $2^n/3$ geldt dat je, na weglaten van het hele deel, beurtelings $2/3$ en $1/3$ krijgt.

In totaal is de rij dan vanaf $n=5$ periodiek met periode $10$ (het kleinste gemene veelvoud van $2$ en $5$).

kphart
14-3-2023

Re: Formule maximaal aantal snijpunten van lijnen

Een lijn kan alle andere snijden. Dus als je 6 lijnen tekent, dan kan 1 lijn daarvan 5 andere lijnen snijden. En dat geldt voor elke lijn. Je hebt dan dus 6 x 5 snijpunten (30). Maar let op: nu tel je eigenlijk alle snijpunten dubbel! Je moet de uitkomst dus nog door 2 delen.
Stel je noemt het aantal lijnen n. Om het aantal snijpunten te berekenen krijg je dus n keer (n-1). Dat deel je dan nog door 2, en dan heb je je formule: ¹/₂n(n-1)

Wouter
16-5-2023

Antwoord

Waarvan akte, na ruim 15 jaar.
jadex
16-5-2023

Hoe zou ik dit in de TI-84 moeten invullen?

De uitwerkingen zijn niet toereikend genoeg. Zou u mij verder kunnen helpen?
A
31-10-2023

Antwoord

Ik heb de somrij zo ingevoerd:

Bij table kan je dan $S_{50}$ aflezen:

Helpt dat? Anders nog maar even verder vragen!
WvR
31-10-2023

Re: Hoe zou ik dit in de TI-84 moeten invullen?

Dankuwel, hoe ziet de somrij er verder uit (ik kan niet zien wat er na de / bij un komt)? Ik heb geprobeerd om na de (n-1) tot de macht gedeeld door 2n te doen zoals in de uitwerkingen staan alleen kom ik dan niet goed uit. Vandaar de vervolgvraag.
A
31-10-2023

Antwoord

Hieronder zie je de rest van de formule. De kunst is om haakjes te zetten waar dat nodig is:

\u(n)=u(n-1)+5*(-1)^(n-1)/(2n)

Probeer het maar 's.

Hopelijk helpt dat.
WvR
31-10-2023

Van directe formule naar recursieve formule

Hoe bepaal ik de beginterm van de recursieve formule, als ik van een directe formule naar een recursieve formule ga?
Celest
4-11-2023

Antwoord

Ik zal een voorbeeld geven:

Gegeven $\eqalign{
x_t = \frac{{3^t + 3}}
{2}
}$

Geeft:

$
\eqalign{
& x_0 = 2 \cr
& x_1 = 3 \cr
& x_2 = 6 \cr
& x_3 = 15 \cr
& x_4 = 42 \cr
& ... \cr}
$

De recursieve formule is $
x_{t + 1} = 3x_t - 3
$ met als beginterm $
x_0 = 2
$.

Helpt dat?
WvR
5-11-2023