De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Rijen en reeksen

u0 of u1? (rijen en reeksen)

Ik snap niet helemaal wanneer je nou u0 of u1 gebruikt bij een formule van een rij. kan iemand mij dit uitleggen?

Groetjes Samira

Samira
12-1-2022

Antwoord

Printen
Het kan allebei en 't maakt (in principe) geen verschil.

WvR
12-1-2022


Re: u0 of u1? (rijen en reeksen)

Maar ik snap dan niet waarom er dan twee begintermen zijn. hoezo is er niet gewoon 1 beginterm als het geen verschil maakt? da's toch veel makkelijker?

Samira
12-1-2022

Antwoord

Printen
Ja dat is waar, maar zo zit de wereld niet in elkaar.

Kan je een voorbeeld geven? Dat kunnen misschien nog 's kijken wat handig is? Of beide mogelijkheden nog 's beter bekijken?

Er zijn ook mensen die vinden dat je voor $\pi$ maar gewoon 3 moet nemen. Dat is wel zo handig...

Maar ja ergens kom je dan een keer in de problemen!

WvR
13-1-2022


Directe formule van een verschilrij

Geachte heer,
Graag een directe formule voor een verschilrij
Met beste dank

heynde
1-2-2022

Antwoord

Printen
Als de directe formule van een rij gegeven is als $u_n$ uitgedrukt in $n$ dan is de directe formule van de verschilrij gelijk aan $v_n=u_{n+1}-u_n$.

Voorbeeld 1
Gegeven: $u_n=4+2n$
Verschilrij: $v_n=u_{n+1}-u_n=4+2(n+1)-(4+2n)=2$

Voorbeeld 2
Gegeven: $u_n=42^n$
Verschilrij: $v_n=u_{n+1}-u_n=42^{n+1}-42^n=2^{n+2}$

Helpt dat?
Zie Verschilrijen

WvR
1-2-2022


Verschilrij

Geachte heer,

Ik studeer wiskunde op internet bij www.hhofstede.nl.

Het betreft volgende rij:
8 10 16 26 40 $u_1$=8

Verschilrij:
2 6 10 14 18

Formule voor verschilrij: $\Delta u_n$=4n-6
Hoe komt men aan deze formule??
Met hartelijke dank

Walter
1-2-2022

Antwoord

Printen
Als je de rij begint met $n=1$ dan begint je verschilrij met $n=2$:

q93344img1.gif

De formule wordt dan $\Delta u_n=4n-6$. Die 4 komt van de toename in de verschilrij en die -6 om het kloppend te maken. Vul maar 's $n=2$ in. Er moet dan wel 2 uitkomen.

Helpt dat?

WvR
1-2-2022


Delers van geometrische reeks met gehele getallen

Eerder plaatste ik de volgende vraag:
STELLING

n Is een natuurlijk getal.
p Is een priemgetal.

f(n,p) = 1 + n + n2 + . + np-1

Als n = 1 mod p dan is p een deler van f(n,p)

Als d een deler is van f(n,p) n d ≠ 0 mod p dan is d = 1 mod p

Daarop kreeg ik als antwoord:
De eerste bewering klopt: omdat n=1modp geldt n^i=1modp en dan geldt dus f(n,p)=p1=0modp.

De tweede klopt niet: neem p=2 en n=7, dan f(7,2)=8 en 4 is een deler van 8, maar 4=0mod2.

Maar dit klopt juist wel!

Immers als n=7 en p=2 dan is n=1 mod2
De stelling zegt dan dat p een deler is en dat klopt dus.
Als p=2 dan is de stelling triviaal.

Chris
23-2-2022

Antwoord

Printen
Het antwoord op de eerste versie van de vraag was correct; de eis was immers alleen $d\neq p$.
Bij de tweede versie stond niet dat het een verbetering van de eerste was of een reactie op het eerste antwoord, ik heb toen over de verandering heengelezen en ten onrechte de vraag als `al beantwoord' aangemerkt. Inmiddels is er een nieuwe versie, met het extra gegeven dat $d$ priem moet zijn.
Laten we die dan als definitieve versie beschouwen. Het feit dat het antwoord op zich laat wachten duidt er op dat de vraag niet eenvoudig is.

kphart
6-3-2022


Reeksen van getallen

Beste,

Ik moet bepalen of de reeksen (n^(n-1/n))/(n-1/n)^n met n=2 tot $\infty $
convergeert of divergeert. Volgens mijn berekening divergeert ze en zo staat het ook in het boek.

Wat ik bij zo'n vraag altijd doe is eerst de limiet berekenen van n naar $\infty $ want als deze al niet 0 is kan je al besluiten dat ze divergent is.

Deze limiet is niet zo simpel om op te lossen. Wat ik deed is asymptotische equivalentie gebruiken. Nu weet ik niet of je dat mag toepassen op een limiet.

Ik gebruikte dat n-1/n asymptotisch equivalent is met n op n naar $\infty $ .
dan wordt het wel heel simpel want dan is de limiet gewoon 1.

Ik weet niet of mijn redenering klopt.

Mike
12-4-2022

Antwoord

Printen
Die redenering moet echt wat voorzichtiger. Gebruik makend van de wetenschap dat waarschijnlijk die limiet op 1 moet uitkomen ga ik het volgende doen:

Voor n $\to $ $\infty $ geldt:

(n^(n-1/n))/(n-1/n)n $>$ (n^(n-1/n))/(nn) = n^(-1/n)

Dan schrijf ik die macht even anders:
n^(-1/n) = e^ln(n^(-1/n)) = e^((-1/n)ln(n))

Nu is lim n $\to $ $\infty $ ln(n)/n = 0 (dit is een standaard limiet)

Dus die oorspronkelijke limiet kan nu nooit kleiner worden dan 1.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
12-4-2022


Re: Reeksen van getallen

Dus bij limieten mag je geen asymptotische equivalentie gebruiker?
Dus moet je de limiet via de standaardregels oplossen ?

Mike
13-4-2022

Antwoord

Printen
Ik weet niet wat jij mag op de universiteit. Zelf heb ik altijd geleerd om als bewijs uit te gaan van standaardlimieten, de epsilon delta methode en/of de insluitstelling te gebruiken. Die laatste gebruik ik half.

Bij (n-1/n)^n zeggen dat die 1/n wegvalt t.o.v. die n is uiteindelijk wel waar maar geen bewijs.
Het probleem zit hem een beetje in het volgende: voor hetzelfde geld zou je kunnen zeggen dat bij (1-1/n)^n zeker voor grote n die 1/n in het niet valt t.o.v. die 1 en dat hier dus 1 uit zou komen. Dan loopt het dus fout want hier komt 1/e uit en niet 1

Een collega (KPHart) denkt daar wat makkelijker over, die suggereert alles te delen door n^n maar dan zit je strikt genomen nog steeds met hetzelfde probleem. Dus de meningen verschillen hierover.

Ik weet dus niet wat jij op jouw universiteit mag gebruiken als bewijs. Vraag het eens na zou ik zeggen. Mijn oplossing klopt in ieder geval zonder twijfel, tenzij ik een denkfout gemaakt heb uiteraard.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
13-4-2022


Re: Re: Reeksen van getallen

bij het voorbeeld (1-1/n)n zou ik het ook niet toepassen want dan krijg je 1 tot oneindig wat een onbepaaldheid is.
maar oneindig tot oneindig is geen onbepaaldheid.
de voorwaarde van asymptotische equivalentie( f(x) $\sim $ f(x)) is dat lim x $\to $ $\infty $ g(x)/f(x) =1

als ik bv zeg dat n-1/n $\sim $ n voor n $\to $ $\infty $ dan krijg je inderdaad limiet 1.

Op dit ogenblik kan ik het moeilijk navragen omdat het paasvakantie is. Misschien kan je een second opinion vragen over mijn berekening aan iemand anders.

Mike
13-4-2022

Antwoord

Printen
Het probleem met je aanpak is dat je de onbepaaldheid $1^\infty$ vervangt door een andere, namelijk $\eqalign{\frac\infty\infty}$.
Het klopt dat $\eqalign{n-\frac1n}$ en $n$ asymptotisch equivalent zijn, maar dat zegt dan weer niets over hun machten als daarin de exponenten ook naar oneindig gaan.

Ik zou zelf in de gegeven breuk teller en noemer door $n^n$ delen; dat geeft
$$\frac{n^{n-\frac1n}}{(n-\frac1n)^n}=\frac{n^{-\frac1n}}{(1-\frac1{n^2})^n}
=\frac1{\sqrt[n]{n}\cdot(1-\frac1{n^2})^n}
$$Nu geldt $\lim_n\sqrt[n]{n}=1$; dit is een bekende standaardlimiet, zie bijvoorbeeld hier.

Ook geldt $\lim_n(1-\frac1{n^2})^n=1$, dus jouw limiet is gelijk aan $1$. Die laatste volgt door insluiten:
$$1 > \left(1-\frac1{n^2}\right)^n > 1-\frac1n
$$de eerste ongelijkheid is duidelijk, de tweede volgt uit de Ongelijkheid van Bernoulli.

Maar de redenering uit het eerste antwoord is goed genoeg: de limiet van de rij, zo die bestaat, is in ieder geval niet gelijk aan $0$; en daar was het uiteindelijk om te doen.

kphart
13-4-2022


Re: Re: Re: Reeksen van getallen

ik snap wat je bedoelt maar stel dat je het met asymptotische equivalentie doet.

dan krijg je nn/nn en als je dat vereenvoudigd is het toch gewoon 1

stel je neemt nn+1/nn dan zou je toch ook kunnen zeggen dat is $\infty $ / $\infty $ maar als je het vereenvoudigt krijg je n.

bv lim n $\to $ 0 sin(n)/sin(n) kan je ook zien als een onbepaaldheid 0/0 maar dan je toch ook niet opeens regel van l'hospital toepassen maar zeg je gewoon 1
of lim n $\to $ $\infty $ ln(x)/ln(x) zou je ook kunnen zien als $\infty $ / $\infty $ maar je zegt gewoon 1.

Mike
13-4-2022

Antwoord

Printen
Als je asymptotische equivalentie wilt gebruiken dan zul je moeten bewijzen dat het altijd goed afloopt. Je wilt kennelijk deze stelling toepassen:

als $\eqalign{\lim_n\frac{a_n}{b_n}=1}$ en ${\eqalign{\lim_n\frac{c_n}{d_n}=1}}$ dan geldt
$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n^{c_n}}{b_n^{d_n}}=1
$$Bewijs hem maar.

kphart
13-4-2022


Re: Re: Re: Re: Reeksen van getallen

voor jouw stelling heb ik een voorbeeld gegeven.

Mike
13-4-2022

Antwoord

Printen
Een voorbeeld bewijst niks, en de stelling geldt ook niet.
Er geldt
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+\sqrt n}=1
$$maar
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n+\sqrt n}}{(n+\sqrt n)^n}=\infty
$$Deel teller en noemer door $n^n$, je krijgt
$$\frac{n^{\sqrt n}}{(1+\frac1{\sqrt n})^n}
$$Neem de logaritme:
$$\sqrt{n}\ln n -n\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)
$$Dat is gelijk aan
$$\sqrt n\left(\ln n-\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right)
$$Door gebruik te maken van $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ zien we dat
$$\lim_{n\to\infty}\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)=1
$$Dit laat zien dat
$$\sqrt n\left(\ln n-\sqrt n\cdot\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right)
$$naar oneindig gaat, en de oorspronkelijke breuk dus ook.

De stelling die je wilde toepassen geldt dus niet.

kphart
13-4-2022


Convergentie vraagstuk

Hallo

ik moet de zoeken of de reeks van 1 tot $\infty $ van 1/ln(cosh(n)).

convergeert of divergeert.

ik ben niet zeker of mijn aanpak klopt.

ik heb cosh(n) herschreven als (en+e-n)/2 dan gezegd dat en+e-n $\sim $ en,n $\to $ $\infty $ en dan gezegd n-ln(2) $\sim $ n,n $\to $ $\infty $ zodat je deze reeks kan herleiden op oneindig tot de harmonische reeks 1/n die divergeert.

Graag feedback op deze aanpak of verbetering.

Mike
14-4-2022

Antwoord

Printen
Zo zou ik het op kladpapier doen, maar als ik het uit zou moeten leggen zou ik toch eindigen met netjes de limiet van het quotint te bepalen (en in de eerste stap de breuk wat opknappen):
Eerst $\ln\cosh n$ wat omschrijven: $\cosh n=e^n\cdot(1+e^{-2n})\cdot\frac12$,
dus $\ln\cosh n=n+\ln(1+e^{-2n})-\ln2$, en dus
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\cosh n}{n}=
\lim_{n\to\infty}\frac{n+\ln(1+e^{-2n})-\ln2}{n}= \ldots =1
$$Het probleem is namelijk dat je tweede stap nog een stelling gebruikt, namelijk
als $\eqalign{\lim_n\frac{a_n}{b_n}=1}$ dan $\eqalign{\lim_n\frac{\ln a_n}{\ln b_n}=1}$. Geldt die stelling universeel?

kphart
15-4-2022



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3