WisFaq!

Een meetkundige rij is gedefinieerd door het feit dat elke term het product is van een constante factor (de reden of het quotiënt) met de vorige term.

De verhouding van een term $T_k$ en een term $T_{k+1}$ moet dus een (constant) getal zijn. Lukt het zo?
js2
14-1-2021

Product, quotiënt en convergentie

Ik had een wiskunde meerkeuzevraag op mijn examen en die was: Je hebt een product dat convergent is en/of je hebt een quotiënt dat convergent is, is de reeks dan ook convergent? ik antwoordde dat deze uitspraak dan altijd juist is, maar ik weet niet of dit waar is. Wat zeggen jullie?
Elodie
16-1-2021

Antwoord

Dit was de hele vraag
--
De meerkeuzevraag was zo opgesteld:

Uitspraak 1: Het product van 2 rijen is convergent (dan volgt) -$>$ het product of quotiënt van deze reeks is convergent
Uitspraak 2: Het quotiënt van 2 rijen is convergent

Antwoord meerkeuzevraag (dan moest ik uit deze 4 antwoorden kiezen):

Uitspraak 1 en 2 zijn altijd juist
Uitspraak 1 en 2 zijn altijd fout
Uitspraak 1 is altijd juist, uitspraak 2 is soms juist
Uitspraak 2 is altijd juist, uitspraak 1 is soms juist
--
Voor mij zijn deze uitspraken zinledig: als je niets meer weet over de rijen kun je al helemaal niets over hun product of quotiënt zegggen; hetgeen achter "dan volgt" staat heeft ook geen betekenis: wat is `deze reeks'?

Als dit de hele vraag was dan was hij zeer slecht-gesteld.
kphart
19-1-2021

De recurrente betrekking

Dag heer/mevrouw,

Ik kom bij deze opgave niet uit.

Zij gegeven de rij a₀; a₁; a₂; ..... die als volgt met recursie is gedefinieerd:
a₀ = 4, a₁ = 18
a_n+2 = 5a_n+1 - 6a_n voor alle n $\ge$ 0.
Gevraagd:
Bereken a₁₀ met behulp van de recurrente betrekking (gebruik de SEQ-modus van je GR, met de uitleg van de stappen).
Geef een directe formule voor a_n met behulp van de lineaire recurrente betrekkingen.
Bereken nogmaals a₁₀, maar nu met de directe formule.

Pet
23-2-2021

Antwoord

1.

De 1e vraag is wel een beetje lastig. Ik heb een TI-84 Plus CE-T gebruikt. Je moet maar 's goed kijken naar de instellingen. Je hebt de volgende onderdelen nodig. Ik neem aan dat je daar mee voldoende uit de voeten kan:

[MODE]

[y=]

[table]

2.

Op lineaire differentievergelijkingen van de tweede orde staat uitgelegd hoe je een directe formule kan opstellen. Zie uitwerking voorbeeld 1.

3.

Ik kom dan uit op:

$
\eqalign{
& a_n = 10 \cdot 3^n - 6 \cdot 2^n \cr
& a_{10} = 10 \cdot 3^{10} - 6 \cdot 2^{10} = {\rm{584}}{\rm{.346}} \cr}
$

...en dan lijkt het me wel in orde zo. Zou dat lukken denk je?
WvR
23-2-2021

Machtreeksen

Ik kom bij deze opgave niet uit.

Bepaal genererende functies voor de volgende problemen en geef aan welke coëfficiënt we hier nodig hebben.(de coëfficiënten we verder niet uit te rekenen).

a) Op hoeveel manieren kunnen we k identieke knikkers verdelen over 5 verschillende vakjes, zodat er in ieder vakjes 2, 3, 5 of 7 knikkers komen?

b) Op hoeveel manieren kunnen we 20 identieke knikkers verdelen over n verschillende vakjes, zodat er in ieder vakje ten minste drie en ten hoogste zes knikkers komen?

c) op hoeveel manieren kunnen er k identieke knikkers verdelen over n verschillende vakjes, zodat er in ieder vakje een positief even aantal knikkers komt(dus 2 of 4 of 6 of ....)? (Geef uiteindelijk een antwoord zonder segma-teken of stippeltjes)

Ik kom er hier helaas nier uit. Alvast bedankt!
Mo
25-2-2021

Antwoord

Kijk naar de voorbeelden in het materiaal en probeer die aan te passen.
Bij (a) moet je naar de coëfficiënt van $x^k$ in $(x^2+x^3+x^5+x^7)^5$ kijken.
Als doorhebt waarom, kun je andere twee ook wel maken.

En lees ook nog even de spelregels, in het bijzonder punten 5 en 8.

kphart
25-2-2021

Machtreeksen

Hoe moet ik dit oplossen:

Bepaal met de hand de coëfficiënt van x⁷ in de machtsreeks die hoort bij de functie:

(2x)⁵ / (1 - 2x)⁶

Wij mogen dit oplossen met behulp van het uitgebreide binomium van Newton.

Alvast bedankt!
Mo
25-2-2021

Antwoord

Ik neem aan dat `het uitgebreide binomium van Newton' slaat op de formules voor $(1+x)^a$ met $a$ niet noodzakelijk een natuurlijk getal.
In dat geval zou ik die formule met $a=-6$ in de tweede factor toepassen:
$$32x^5\cdot(1-2x)^{-6} = \ldots
$$(met $-2x$ op de plaats van $x$).

En lees ook nog even de spelregels, in het bijzonder punten 5 en 8.
kphart
25-2-2021

Centauri en Proxima

De planeet Centauri draait in 8 jaar rond de ster Proxima. De centauren zijn echter bang omdat een komeet, die in 62 jaar om Proxima draait, een baan van Centauri 1 keer per omloop snijdt. Er is slechts 1 snijpunt omdat beide banen zich niet in hetzelfde vlak bevinden.

Berekeningen tonen aan dat de planeet dit snijpunt 3 jaar voor de komeet zal bereiken. Als de komeet dit punt bereikt dan zal de planeet uiteraard al verder op zijn baan zijn.

Veronderstel dat de planeet en de komeet dezelfde banen blijven volgen, bestaat er dan het gevaar dat ze op elkaar zullen botsen? Met andere woorden dat ze zich op hetzelfde moment in het snijpunt bevinden? Verklaar!

Dezelfde vraag maar deze keer is de omlooptijd van de planeet 8,1 jaar.
kiara
8-3-2021

Antwoord

Hallo Kiara,

Laten we de jaren tellen vanaf het moment dat de planeet Centauri zich op het snijpunt van de banen bevindt. Deze planeet komt opnieuw door dit punt na het volgende aantal jaren:

8, 16, 24, 32, 40 enz.

De komeet komt na 3 jaar in dit punt aan, en dan steeds 62 jaar later. De komeet komt dus door het snijpunt na dit aantal jaren:

3, 65, 127, 189, 251 enz.

Als je goed naar deze twee rijen getallen kijkt, zie je dat de komeet en de planeet nooit na hetzelfde aantal jaren bij het snijpunt komen, zie je waarom? Een botsing zit er dus niet in.

Voor de omlooptijd van 8,1 jaar wordt het iets ingewikkelder. Daar mag je nu zelf eens over nadenken
GHvD
9-3-2021

Taylorreeks benaderen

Een formule F=kr⁴ is gegeven.

Er wordt gevraagd een formule op te stellen die in een eerste orde benadering de verandering ΔF in F uitdrukt in de verandering Δr in r. Het antwoord komt uit op ΔF=4kr³Δr

Ik begrijp alleen niet waarom dit zo is. Ik snap de vraagstelling volgens mij niet zo goed.

Ook word er in een b) vraag gevraagd de relatieve verandering F uit te drukken in de relatieve verandering in r met als antwoord: (ΔF/F)=4(Δr/r) wat ik weer niet begrijp hoe het antwoord verkregen kan worden.

Alvast bedankt!
Berke
23-3-2021

Antwoord

Hint: de verandering wordt bepaald door de helling van de grafiek.

Uitgaande van F=k·r⁴ wordt de verandering $\Delta$F = k·(r+$\Delta$r)⁴-k·r⁴ dat uitwerken levert:

k·(4·r³·$\Delta$r+6·r²·$\Delta$r² + 4·r·$\Delta$r³ + $\Delta$r⁴) Als nu $\Delta$r naar 0 gaat zijn de laatste drie termen verwaarloosbaar t.o.v. de eerste dus dan is bij benadering $\Delta$F = k·4·r³·$\Delta$r

Niet toevallig is hier ook de afgeleide functie leesbaar.

De relatieve verandering van F is de $\Delta$F in relatie tot de waarde van F dus $\Delta$F/F = k·4·r³·$\Delta$r/k·r⁴ dus .........

Met vriendelijke groet
JaDeX
jadex
23-3-2021

Recursieve formules

In de Volkskrant van 8 mei staat het volgende raadsel van Ionica Smeets: ontdek welke regel deze reeks beschrijft en wat het volgende getal is:

6, 5, 5, 4, 5, 10, 2, 3, 3, 8, 5, ...

Ondanks de hint dat het een zelfverwijzend raadsel is (wat ik interpreteer als een recursieve formule) en dat het volgende getal 2 is, kom ik er niet uit. Hebben jullie een idee?
Fred F
10-5-2021

Antwoord

Tel de letters in de woorden van de opdracht (gelukkig heb je die letterlijk overgeschreven).
Zie Column Ionica Smeets

kphart
10-5-2021

Wat is de afgelegde weg?

Een botsbal springt telkens de helft van de hoogte waarvan hij valt terug. Nonkel Luc is de grootste van de familie en laat de botsbal vallen vanaf een hoogte van 192 centimeter. Wat is de totale afstand die de botsbal heeft afgelegd vanaf het moment dat nonkel Luc hem laat vallen tot hij voor de zevende keer de grond raakt?
Thibau
17-5-2021

Antwoord

De eerste keer legt de bal 192 cm af. Na de eerste stuiter op gaat de bal 96 cm omhoog en 96 cm omlaag. Dat is samen 192 cm. Daarna komt er na elke stuiter de helft van die afstand bij. Dat is een voorbeeld van een meetkundige rij. Er geldt:

$
\eqalign{
& U_0 = 192 \cr
& r = 0,5 \cr
& U_n = 192 \cdot 0,5^n \cr
& \sum\limits_{k = 0}^n {u_k = \frac{{u_0 - u_{n + 1} }}
{{1 - r}}} \cr
& \sum\limits_{k = 0}^6 {u_k = \frac{{u_0 - u_7 }}
{{1 - 0,5}} = \frac{{192 - 1,5}}
{{0,5}}} = 381 \cr
& S = 192 + 381 = 573\,\,\,cm \cr}
$
meetkundige rijen

WvR
17-5-2021

Re: Centauri en Proxima

Wat is de formule van de tweede rij?
karel
27-5-2021

Antwoord

Hallo Karel,

Bedoel je de rij 3, 65, 127, 189, 251, ... ? Ik kan daarvoor wel een formule bedenken, maar die is niet nodig om deze vraag te beantwoorden.
Ik geef je een hint:
Een getal kan niet tegelijk even en oneven zijn.
Als je aan even en oneven getallen denkt, wat valt dan op bij de eerste rij? En wat valt op bij de tweede rij?
Zou je een getal kunnen vinden dat in beide rijen voorkomt?

GHvD
27-5-2021

Re: Centauri en Proxima

Zou u dit explicieter kunnen uitleggen?
karel
27-5-2021

Antwoord

Hallo Karel,

We beginnen jaren te tellen op het moment dat de planeet Centauri zich op het snijpunt van de banen bevindt. Dus bij t=0 is de planeet op dit snijpunt.
Elke 8 jaar heeft de planeet een rondje gedraaid. Dus bij t=8 is de planeet weer op het snijpunt. En 8 jaar later, dus bij t=16, ook weer. En bij t=24, t=32 enz.
Zo vinden we de waarden van t wanneer de planeet zich op het snijpunt bevindt:

0, 8, 16, 24, 32, 40 enz.

Nu de komeet: 3 jaar na de planeet komt de komeet in het snijpunt aan. Dus bij t=3. De komeet draait elke 62 jaar een rondje. Dus de komeet komt 62 jaar later weer in het snijpunt, dus bij t=65. En 62 jaar later weer, dus bij t= 127. Alle tijdstippen op een rijtje:

3, 65, 127, 189, 251 enz.

De komeet en de planeet botsen wanneer ze op hetzelfde tijdstip in het snijpunt aankomen. Dus: bij dezelfde waarde van t. Dat moet dan bij een waarde zijn die in allebei de rijtjes voorkomt.

De vraag is dus: is er een getal dat in beide rijtjes voorkomt? Zo ja, dan geeft dit getal het jaar aan waarin de botsing zal zijn. Zo nee, dan zal er nooit een botsing zijn.
GHvD
27-5-2021

klein | normaal | groot