WisFaq!

Geachte,
Graag uw hulp bij het volgende probleem:
Wat is de inhoud van het omwentelingslichaam bij wentelen om de y-as van y = 4x-x² tussen de grenzen x=0 en x=4?
Ik heb een tekening gemaakt van een vierkant van 4x4 vanuit O grenzend aan de positieve x en y-as met daarin de parabool. Het vierkant verdeeld in 3 delen: een linker gebied, het gebied onder de parabool en het rechter gebied. Het gaat (denk ik) om de omwenteling van het gebied onder de parabool. Het antwoord is 128/3 $\pi$ .
Ik probeer eerst de inhoud te berekenen van het gewentelde linkergebied.
x²= 8 - y + wortel(4-y).
Inhoud = $\pi$ integraal [( $\sqrt{}$ (4-y)+2))². Met als grenzen 0 en 4. Hopelijk is de omzetting van de formule goed... (x en y omgewissweld). Hier komt 45 en 1/3 $\pi$ uit. Dit lijkt me niet mogelijk, omdat de inhoud van het hele gewentelde vierkant 64 $\pi$ is???
Ik begrijp niet waar ik de mist in ga...

Bij voorbaat dank.

Diana
13-2-2025

Antwoord

Ik zie twee momenten: Ik zie niet waar $x^2=8-y+\sqrt{4-y}$ vandaan komt. Maar in de volgende regel heb je alsnog $2+\sqrt{4-y}$, en die moet je wel hebben. Maar je mist de tweede helft van de parabool.

Ik heb in het plaatje even $x$ als functie van $y$ getekend, en jouw integraal geeft de inhoud van het wentellichaam van het rode deel van de parabool. Maar daar moet je de inhoud van het wentellichaam van het blauwe deel nog van aftrekken.
Het gaat dus om
$$\pi\int_0^4(2+\sqrt{4-y})^2\,\mathrm{d}y - \pi\int_0^4(2-\sqrt{4-y})^2\,\mathrm{d}y
$$Als je dat uitwerkt hou je
$$\pi\int_0^48\sqrt{4-y}\,\mathrm{d}y
$$over, en die heeft inderdaad de waarde $\frac{128}3\pi$.
kphart
13-2-2025

Agebraische berekening

Geachte,
Graag uw hulp.
Ik wil de inhoud berekenen van e^(-2x) bij wentelen om de y-as tussen de grenzen y=0,x=0 en x=2.
X= -0,5lny dus x²=0,25(lny)² Dan geldt voor de omwenteling: $\pi$ :4 x integraal (lny)² met als grenzen e^-4 en 1. Mijn GR geeft hier als antwoord: 1,19678...
Algebraïsch krijg ik als primitieve: y(lny)²-2ylny +2y. Dan de grenzen ingevuld geeft: $\pi$ ÷4(2-10/e⁴) = 1,427... Dit laatste is volgens het antwoordblad het juiste antwoord! Hoe kan dit anders zijn, dan via mijn GR?

Alvast hartelijk dank voor uw reactie.
Dian
15-2-2025

Antwoord

Het lijkt me dat je antwoordblad niet klopt. Je primitieve is correct, maar bij het invullen ging het mis:
$$\frac\pi4\left[y\cdot\ln^2y-2y\cdot\ln y+2y\right]_{e^{-4}}^1=
\frac\pi4\bigl(2-(e^{-4}\cdot16-2e^{-4}\cdot-4+2e^{-4})\bigr)
$$en dat geeft $\frac\pi4(2-26e^{-4})\approx 1{,}196784529$.
kphart
15-2-2025