De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Lineaire algebra

Affiene deelruimte

Beste

Ik snap de intuïtie achter een affiene deelruimte D van dimensie k is uniek bepaald door 1 plaatsvector en k linear onafh. richtingsvectoren. Maar hoe kan ik dit wiskundig correct aantonen? Alvast dank ik u bij voorbaat.

Met vriendelijke groeten
Rafik

Rafik
1-1-2021

Antwoord

Printen
Dat hangt een beetje van de gegeven definitie van "affiene deelruimte van dimensie $k$" af; voor sommmigen is je eerste zin al bijna die definitie.
Wat is de definitie die in je cursus gehanteerd wordt?

kphart
2-1-2021


Re: Affiene deelruimte

Def: (i) Zij D een affiene deelruimte van Rn. Dan bestaat er een unieke deelruimte W waarvoor D=v+W voor een v element van Rn. We noemen W de geassocieerde vectordeelruimte van D.
(ii) Zij D=v+W. Elke vector in D noemen we een plaatsvector van D. Elke vector in W noemen we een richtingsvector van D.

Onder deze definitie staat er als opmerking dan een affiene deelruimte D van dimensie k is uniek bepaald door 1 plaatsvector en k linear onafh. richtingsvectoren. Is het mss omdat we D kunnen voorstellen als v+a1.w1+a2.w2+...+ak.wk?

Rafik
2-1-2021

Antwoord

Printen
Je laatste zin is niet de reden, maar het gevolg van die opmerking. Waar komen volgens jou die $w_1$, tot en met $w_k$ vandaan dan?

In de juiste volgorde: Gegeven $D$ bestaan $v$ en $W$. Neem een basis $\{w_1,\ldots,w_k\}$ voor $W$ (daar komen die vectoren vandaan, eerder is vastgesteld dat elke deelruimte van $\mathbb{R}^n$ een basis heeft, dat passen we nu toe). Die $k+1$ vectoren leggen $D$ nu geheel vast: elke $x\in D$ is van de vorm $v+w$ met $w\in W$, en $w$ is dan, als in je laatste zin, te schrijven als lineaire combinatie van $w_1$ tot en met $w_k$.

kphart
2-1-2021


Methode van Gauss

hoii, ik moet een matrixvergelijking oplossen met de methode van Gauss. ik ben halverwege maar heb ergens volgens mij een fout of ik kan hier gewoon niet verder.
de opgave is:

9x1-3x2-x3-7x4 = 4
2x1 - x2 + x3 = - 3x4 = 0
x1 - 2x3 + x4 = 6

ik zou aan een oplossing moeten uitkomen van x1 = -8, x2 = -58 - 5t, x3 = t en x4 = 14 + 2t.

ik heb een plaatje van mijn bewerking doorgestuurd, waarschijnlijk heb ik ergens een rekenfout gemaakt of berekeninge tekort gedaan.

Melike
9-1-2021

Antwoord

Printen
Hallo Melike,

Je berekening is helemaal correct, je hebt nog een paar stapjes nodig om bij het antwoord te komen. Je hebt gevonden:

x1 = -8 (vgl. 1)
x2 + 5/2x4 = -23 (vgl. 2)
x3 - 1/2x4 = -7 (vgl. 3)

Om 4 onbekenden eenduidig te berekenen, heb je 4 vergelijkingen nodig. Je hebt maar 3 vergelijkingen. Dat betekent dat je één onbekende vrij mag kiezen (in dit geval niet x1: deze ligt 'toevallig' vast, zoals uit de eerste vergelijking blijkt).

Handig zou zijn om te kiezen: x4=t. Dan blijkt uit bovenstaande vergelijkingen:

x2 = -5/2t -23
x3 = 1/2t -7

In het antwoordmodel is kennelijk gekozen: x3=t. Dat kan ook. Invullen in vgl. 3 levert:

t - 1/2x4 = -7
-1/2x4 = -7 - t
x4 = 14 + 2t

Dit kunnen we weer in vgl. 2 invullen:

x2 + 5/2x4 = -23
x2 + 5/2(14 + 2t) = -23
x2 + 35 + 5t = -23
x2 = -35 - 5t -23
x2 = -58 - 5t

Nu is het lijstje compleet:
x1 = -8
x2 = -58 - 5t
x3 = t
x4 = 14 + 2t

OK zo?

GHvD
10-1-2021


Methode van Gauss (2)

hoii, ik heb een ander opgave waarbij ik de methode van Gauss moet toepassen:

4x1 - 6x2 + 2x3 = 8
-2x1 + 3x2 - x3 = -4

ik kom helemaal niet uit aan mijn oplossing ik snap niet wat ik fout heb gedaan.
de oplossing zou x1 = t, x2 = s, x3 = -2t + 3s + 4 zijn.
ik heb een plaatje van mijn berekening erbij gestuurd:

q91292img1.gif

Melike
9-1-2021

Antwoord

Printen
Hallo Melike,

Zie mijn antwoord bij jouw vorige vraag Methode van Gauss. Je hebt gevonden:

x1 - 3/2x2 + 1/2x3 = 2

Je hebt één vergelijking met 3 onbekenden. Je mag 2 onbekenden vrij kiezen. In het antwoordmodel is gekozen voor x1=t en x2=s. Invullen levert:

t - 3/2s + 1/2x3 = 2

1/2x3 = -t + 3/2s + 2

x3 = -2t + 3s + 4

GHvD
10-1-2021


Vector berekenen

hoi, ik heb een vraagstuk waarbij ik een vector moet bepalen maar ik vind dit heel lastig en weet niet hoe ik zou beginnen en verder moet gaan.

'een bepaald land met 50 miljoen inwoners is demografisch verdeel in de twee gebieden A en B. gegeven is de volgende mutatiematrix M die aangeeft hoeveel procent van de bevolking jaarlijks verhuist. Onderstel dat het totale aatal inwoners door de jaren heen constant blijft.
Bereken een vector V1 zodat MV1= V1 en een vector V2 zodat MV2=0.5V2. Geef de stationaire toestand van M.'

ik stuur de matrix en de bijhorende oplossing via plaatjes door. Ik hoop dat iemand met verder kan helpen.

Melike
11-1-2021

Antwoord

Printen
Het bepalen van $v_1$ en $v_2$ komt neer op het oplossen van twee stelsels; dat mag geen problemen opleveren, behalve misschien dat de stelsels geen unieke oplossing hebben, maar oneindig veel (er is een vrije variabele). Bij het antwoord hebben ze speciale oplossingen gekozen: bij $v_1$ is gezorgd dat de som van ce coordinaten gelijk aan $1$ is, en bij $v_2$ zijn de coordinaten geheel gekozen.
De veelvouden van $v_1$ geven evenwichtstoestanden aan de aantallen mensen die in de gebieden wonen blijven constant, de coordinaten van $v_1$ beschrijven hoe die verdeling is.

kphart
11-1-2021


Re: Vector berekenen

Hoe kom ik aan V1? Ik heb het geprobeerd te berekenen maar ik heb het fout. Ik heb er een plaatje bijgestuurd.

melike
12-1-2021

Antwoord

Printen
Je was dichtbij: de rij $[1\,-\frac23\,|\,0]$ staat voor $a-\frac23b=0$, dus $b$ is vrij te kiezen en elke vector
$$\binom{\frac23b}{b}
$$is een oplossing. Als je wilt dat $a+b=1$ moet je $b$ dus zo kiezen dat $\frac23b+b=1$.

kphart
12-1-2021


Consumptievector C

Hoi, ik heb een vraagstuk:

"gegeven is de inputmatrix en de consumptievector, los dit input-output systeem voor de gegeven consumptievector C op."
A = 0,05  0,25  0,34         C= 1800
0,33 0,10 0,12 200
0,19 0,38 0 900
Ik zou aan een ander oplossing moeten komen, maar het lukt me niet echt. ik heb dit 2x opnieuw berekent maar ik kom steeds hetzelfde uit. ik weet niet waar de fout ligt. Ik stuur mijn berekening en de bijhorende oplossing door via mail.

melike
12-1-2021

Antwoord

Printen
Hallo Melike,

Je uitwerking is correct. Je kunt dit controleren door je gevonden waarden in de oorspronkelijke matrixvergelijking in te vullen, de matrixvermenigvuldiging uit te voeren en te bekijken of je op de gegeven consumptievector uitkomt. Dit is het geval.

Wellicht heb je de opgave niet helemaal goed overgenomen, of zit er een foutje in de opgave of in het antwoord uit het antwoordmodel.

GHvD
23-1-2021


Re: Re: Vector berekenen

dankjewel, hoe moet ik V2 nu berekenen? ik neem aan op dezelfde manier maar nu moet MV = 0,5V zijn, ik vind dit lastig door die 0,5.

melike
13-1-2021

Antwoord

Printen
Op precies dezelfde manier: stel $v_2=\binom{c}{d}$ en stel de vergelijking(en) op:
$$\begin{array}{rcl}
0{,}7c+0{,}2d&=&0{,}5c\\
0{,}3c+0{,}8d&=&0{,}5d
\end{array}
$$Je houdt weer één rij over met, bijvoorbeeld, $d$ vrij te kiezen.

kphart
13-1-2021


Re: Re: Re: Vector berekenen

ik kom helemaal niet uit, ik heb het al paar keer geprobeerd maar ik kom breuken uit. ik heb het ook geprobeerd door gewoon de vergelijking zelf op te lossen door te zoeken naar de onbekende maar dan kom ik bij ze beide -1 uit.
Ik zou (-1 1) moeten uitkomen. ik heb er een plaatje bijgestuurd

melike
13-1-2021

Antwoord

Printen
Je moet wel eerst alle onbekenden ($c$ en $d$) naar links brengen:
$$
\begin{array}{rcl}
0{,}2c+0{,}2d&=&0\\
0{,}3c+0{,}3d&=&0
\end{array}
$$

kphart
13-1-2021


Re: Re: Re: Re: Vector berekenen

ja klopt, dankuwel! ik kom dan als enige vergelijking c + d = 0 uit. c zou -1 moeten zijn en d = 1, maar ik ben niet zeker over mijn denkwijze. ik maak er c = -d van dan is c = 1 en d = -1 en dit is dus omgekeerd. misschien is dit een gekke vraag maar hoe zou ik dit het best kunnen oplossen?

melike
13-1-2021

Antwoord

Printen
Wat je krijgt is dat voor elke $d$ de vector
$$\binom{-d}{d}
$$een oplossing is, $d$ is vrij te kiezen; in het modelantwoord is kennelijk $d=1$ genomen. Maar $d=-1$, of $d=25$, mag ook.

kphart
13-1-2021


Re: Re: Re: Re: Re: Vector berekenen

Dus als ik d=25 kies, dan krijg ik als vector (-25 25)?

melike
13-1-2021

Antwoord

Printen
Ja

kphart
14-1-2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie IIb