De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Limieten

Limiet en afgeleide

Goede dag ,
Als we de regels voor afgeleidfen toepassen is het duidelijk dat:
gegeven dat
y=x^1/4
y'= 1/4x^-3/4
y'= 1/(4.x^3/4)
Mar bewijzen met de definitie ix voor mij hier wat anders.
Limiet ((f(x)-f(a))/(x-a) voor x nadert tot a
=lim(x^1/4-a^1/4)/(x-a) voor x nadert tot a
En dan zit ik wat vast in wortels met macht 1/4...
Waarom moet dat allemaal kunne berekend worden als je eenmaal de afgeleiden goed onder knie hebt....?
Andere oefeningen echter gaan heel goed.
Maar deze dus even niet !
Kan wat hulp goed gebruiken. Waarvoor oprechte dank .
Met vriendelijke groeten.
Rik

Rik Le
8-2-2021

Antwoord

Printen
Dit is een typische algebraoefening, Je kunt $x-a$ opvatten als $$(x^{\frac14})^4-(a^{\frac14})^4$$ en de ontbinding
$$c^4-d^4=(c-d)(c^3+c^2d+cd^2+d^3)$$toepassen.

kphart
8-2-2021


Limiet van een goniometrische functie

Goede dag,
Ik heb een lijst van 16 limieten over goniometrische functies kunnen oplossen zonder veel denkwerk.
Maar twee oefeningen spelen mij parten .
a) limiet(3x3+2tan2x)/(2x3-3sin2x)met x evolueert naar NUL
Met x3 buiten haken te zetten kom ik er zo te zien niet.
b)Lim(3x3+2cos2x)/(2x3+3sin2x metx evolutie naar NUL.
Ook x3 buiten haken halen in teller en noemer levert voor mij geen tastbaar resultaat op .Of moet het toch zo gebeuren ?
Met vriendelijke groeten en graag enige goede raad...
Rik

Rik Le
4-3-2021

Antwoord

Printen
Bij a) helpt het buiten de haken halen van $x^2$, je krijgt dan
$$\lim_{x\to0}\frac{3x+2\left(\frac{\tan x}{x}\right)^2}
{2x-3\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2}
$$met daarin de standaardlimieten $\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}$ en $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$.

Bij b) lijkt mij dat de limiet niet bestaat: de teller heeft limiet $2$, de noemer limiet $0$.

kphart
4-3-2021


Re: Limiet van een goniometrische functie

Dag klaas Pieter,
een x te veel buiten haken gezet . Nu zie ik het .Dank voor de tip !! Uitslag bij nazicht is dus voor a)-5.
Voor b) zal dat dus oneindig worden
Goede avond
Rik

Rik Le
4-3-2021

Antwoord

Printen
Bij a) lijkt het antwoord mij toch $-\frac23$.
Bij b) is het inderdaad `oneindig' dat komt omdat de noemer positief is nabij $0$; dat moet je nog wel even verifiëren.

kphart
4-3-2021


Re: Rechts en links continu

Ik snap nog altijd niet wanneer een functie links en rechts continu is.

lili
7-3-2021

Antwoord

Printen
'Voor het continu zijn van een functie was het nodig dat zowel de rechterlimiet als de linkerlimiet naar de functiewaarde zelf naderden. Het kan natuurlijk ook voorkomen dat slechts één van beiden naar de functiewaarde nadert en de andere niet (of zelfs niet bestaat) In zo'n geval noemen we de functie linkscontinu (linkerlimiet nadert naar f(a)) of rechtscontinu (rechterlimiet nadert naar f(a)).'



Helpt dat?

WvR
10-3-2021


Limiet en rijen

Goede avond,

Een student die morgen een toets heeft over limieten en rijen stelt mij de volgende vraag. Ik vind het een beetje laat maar stel Wisfaq toch gaarne de vraag.

Bepaal met behulp van minstens twee verschillende rijen van originelen de vermoedelijke linker en rechter limiet voor x gaande naar a:

Gegeven functie is:

F(x) =(x2+1)/(x2-4) en a=2

In de praktijk is het niet zo moeilijk om 2 asymptoten te vinden en rechter en linker limiet uit een tekenonderzoek af te leiden. Horizontale asymptoot is y=1

Maar die theorie daarbij over limieten en rijen ligt mij niet zo goed. Graag een antwoord en als het kan, vanavond nog zo mogelijk.

Groetjes

Rik Le
9-3-2021

Antwoord

Printen
Afgezien van de horizontale asymptoot y = 1 zijn er nog twee verticale asymptoten, namelijk

x = -2 en x = 2

Je laat x blijkbaar naderen tot 2.

Tussen -2 en 2 is er eigenlijk weinig interessants te melden. Begin nu bijvoorbeeld met x = 1,90 en daarna 1,91 1,92 enz. Naarmate je dichter bij 2 komt krijg je steeds sterker negatieve getallen wat op linkerlimiet - oneindig duidt.

En daarna neem je een stelletje x-waarden die dalen tot 2, bijvoorbeeld 2,5 2,4 2,3 ......
en je ziet de y-waarden steeds groter worden. Dus dat gaat + oneindig worden.

Het lijkt me een vraag die wat gepriegel met een rekenmachine vraagt maar een grafische machine hoest dit soort rijtjes (x,y) snel op.

MBL
9-3-2021


Limiet en afgeleide absolute waarden

Goedeavond
Gegeven y=|x3+5x2-8x| is gegeven .
Ook gegeven 0$<$f'x)$<$5 {(f'(x) is (A) afgeleide)} Voor welke waarden van x is is A correct.

Vriendelijke groeten en graag een paar hints als het probleem geheel of gedeeltelijk onjuist zou zijn.

Rik Le
10-3-2021

Antwoord

Printen
Ha die Rik,

Ik heb jouw meegestuurde uitwerking bekeken. Het helpt wanneer je een plaatje tekent om te zien hoe het loopt.

q91706img1.gif

Nu moet f'(x) tussen 0 en 5 liggen. Dat is in ieder geval bij beide lokale maxima en dan iets naar links. Of er nog meer uit rolt zal de berekening leren.

De berekening leert op het positieve deel is f'(x) = 3x2 + 10x - 8. Dit maar eens gelijk aan 0 stellen en vervolgens gelijk aan 5 stellen.

3x2 + 10x - 8 = 0 $\Leftrightarrow$ (3x-2)(x+4) = 0
ofwel x=-4 voldoet en x=2/3 vervalt (omgeklapte functie).

3x2 + 10x - 8 = 5 $\Leftrightarrow$ 3x2 + 10x - 13 = 0 $\Leftrightarrow$ (3x+13)(x-1) = 0
ofwel x=-41/3 ofwel x=1 vervalt (omgeklapte functie).

Met tekenschema vind je dat x tussen -41/3 en -4 moet liggen.

Maar nu de geknikte functie van 0 tot ongeveer 1,3 en helemaal links.
Dan geldt f'(x) = -3x2 -10x + 8. Dit gelijk aan 0 stellen
levert weer op x=-4 vervalt en x=2/3 voldoet

Maar f'(x) = -3x2 -10x + 8 = 5 $\Leftrightarrow$ 3x2 + 10x -3 = 0 en dat levert alleen de oplossing x=0,277 die voldoet (abc formule). De andere uitkomst vervalt.

Dus het tweede deel van de oplossing is x tussen 0,277 en 2/3

Gezien de tekening is dat ook wel logisch .... die laatste berekening gaat bij jou dus fout (-5 in plaats van +5).

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
11-3-2021


Re: Limiet en afgeleide absolute waarden

Dag Jan,
Bedankt voor je uitvoerig antwoord.
Ik ga dat nu eens bestuderen.

Rik Le
11-3-2021

Antwoord

Printen
Ik heb in de grafiek nog een foutje weggewerkt.
Bedankt voor je reactie. Goed bezig Rik :-)
Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
11-3-2021


Re: Re: Limiet en afgeleide absolute waarden

Dag Jan,
Graag nog wat uitleg van af het omklappen van de afgeleide naar (omkering teken) en de intervallen 0 en ±1,3 en helemaal links van-6,5 als punt op de negatieve x-as. Dat is me nog niet helemaal duidelijk....
Nog een goede nacht
Rik

Rik Le
13-3-2021

Antwoord

Printen
Hey Rik,

Het is links bij ongeveer -6,5 dus. Heb het in de vraagstelling aangepast.

Zonder absolute waarde ziet de oorspronkelijke grafiek er als volgt uit:
q91723img3.gif`
Met absolute waarde klappen de negatieve delen t.o.v. de xas om, ofwel negatieve waarden worden positief.
q91723img4.gif
Maar op die stukken waar de absolute waarde zorgt voor het omklappen van de oorspronkelijke grafiek verandert ook het teken van de afgeleide (= helling grafiek): positief (stijgend) wordt negatief (dalend) en omgekeerd. Dat betekent dat ook de afgeleide van teken wisselt.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
13-3-2021


Limiet irrationale vorm en schuine raaklijn

Goede avond,
Een student kwam bij mij met volgende oefening, gesteld tijdens een toets limieten en schuine asymptoot.

Gegeven:
lim x naar oneindig (√(x2+4x-2)+(x-2)
Schuine asymptoot :y=mx+q
m= limf(x)/x met x naar oneindig
m== lim ((sqrt]x2+4x-2)+(x-2))/x

IK reken na met toegevoegde tweeterm:
Lim x naar oneindig:
x2+4x-2-(x-2)2)/(x( sqrt(x2+4x-2)-(x-2))
lim(x2+4x-2-x2+4x-4)/x(sqrt(x2+4x-2-x+2)
lim x(8-6/x)/((x(+x)·(sqrt1+4/x-2/x2)-1+2/x))
(+x)· om +oneindig aan te geven. Voor min oneindig geeft die (-x) dan nog geen resultaat.

Of zit ik weer eens fout?

Hoe dan ook: er blijft een x-waarde in de noemer over die niet kan weggewerkt worden. De schuine zijde is onbestaande voor zowel + als - oneindig. Het heeft geen zin om dan nog de q-waarde uit te rekenen
Ik vermoed dat de opgave fout is.
Graag wat goede raad als het kan.
Nog een fijne avond

Rik Le
25-3-2021

Antwoord

Printen
Hoi Rik,

Ik ben dus niet helemaal zeker of de opdracht zo correct is. Ik mis in ieder geval ergens een )

Lim x $\to\infty$ √(x2+4x-2) + (x-2) gaat dus als een gek naar $\infty$

f(x) = √(x2+4x+4-6) + x-2 $\approx$ |x+2| + x-2 = 2x dus y=2x scheve asymptoot rechts als x$\to\infty$

Nu naar -$\infty$ f(x) = √(x2+4x+4-6) + x-2 $\approx$ |x+2| + x-2 = -x-2+x-2 = -4
lim x$\to$ -$\infty$ f(x) = -4

in een plaatje

q91821img3.gif

Dit is dus geen bewijs. Klopte de opgave zo wel?

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
25-3-2021


Re: Limiet irrationale vorm en schuine raaklijn

Hallo Jan,

De opgave luidt
limiet voor=/- x naar oneindig :
√(x2+4x-2) + x-2.
dat heb ik.

Hier in grote karakters geschreven door (DUS
die student.
(√(x2+4x-2)) +(x-2) met: {(x-2 niet onder wortel}
Zit er dus in mijn rekening iets dat foutief is ...?
Ik geloof het niet.
Goede nacht
Rik

Rik Le
25-3-2021

Antwoord

Printen
Hey Rik

We zijn het eens over de opgave en we hebben het nu dus even alleen over de scheve asymptoot rechts.

Ik kom er met jouw berekening niet helemaal uit. Je werkt je een beetje in de problemen. En die scheve asymptoot is er wel degelijk voor x$\to$+$\infty$.

Je eerste stap (delen door x) lijkt me een goede keuze om die m vast te stellen.

Lim x$\to\infty$ (√(x2+4x-2) + (x-2))/x = m. Dat is een goede gedachte. Nu ga je het moeilijk maken door te vermenigvuldigen met √... - (...) Waarom niet gewoon alle termen direct delen door x? Dat is toch veel simpeler? In de noemer blijft dan 1 staan. De teller door x delen levert op: √(1+4/x-2/x2) + 1-2/x en als x$\to\infty$ komt daar dus gewoon 2 uit. Klaar.

Nu die b nog. Bepaal daarvoor lim x$\to\infty$ √(x2+4x-2) + (x-2) - 2x = lim x$\to\infty$ √(x2+4x-2) - (x+2). Nu wel boven en onder de streep vermenigvuldigen met √(x2+4x-2) + (x+2) en je ziet dat daar dan voor die b de uitkomst 0 is.

En dit is nu wel het bewijs. ps die horizontale asymptoot is er links dus ook.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
26-3-2021


Limieten met wortel in teller en noemer

Hallo wisfaq

Ik moet een limiet uitrekenen, maar het lukt me niet. Ik ben uur lang bezig, maar vindt de oplossing niet.

$
\eqalign{
\mathop {\lim }\limits_{x \uparrow 1} \frac{{\sqrt {1 - x} }}
{{1 - \sqrt x }}
}
$

Ibrahi
31-5-2021

Antwoord

Printen
Het je al een variant op de `worteltruc' geprobeerd?
$$\frac{\sqrt{1-x}}{1-\sqrt x}\cdot\frac{1+\sqrt x}{1+\sqrt x}=
\frac{\sqrt{1-x}}{1-x}\cdot(1+\sqrt x) = \frac{1+\sqrt x}{\sqrt{1-x}}
$$Wat denk je daarvan?

kphart
31-5-2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3