De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Krommen

Dubbelpunten

Geachte,

Kunt u mij helpen? We zijn in de klas bezig met voortgezet integreren.

Bij het berekenen van de oppervlakte bij een 'lus' bijvoorbeeld is het nogal cruciaal. Welke t er bij bepaalde punten hoort. Bijvoorbeeld welke waarden horen er bij het dubbelpunt...?

Hoe vind ik nu die t-waarden bij de punten die er toe doen? Als het gaat om snijpunten bij de x-as of y-as is dit geen probleem, maar als die punten ergens in het vlak liggen is het niet zo voor de hand liggend.

Voorbeeld: x(t) = t3 - 3t en y(t) = t2+ t + 1

Bij voorbaat dank

Katrij
26-5-2021

Antwoord

Printen
Je zoekt twee tijdstippen waarop de punten gelijk zijn, je zou kunnen proberen een $t$ en een $a$ te vinden zo dat $x(t+a)=x(t)$ en $y(t+a)=y(t)$.

Als je dat invult krijg je twee vergelijkingen voor $t$ en $a$ (netjes uitschrijven):
$$a(3t^2+3ta+a^2-3)=0 \text{ en } a(2t+a+1)=0
$$Omdat $a\neq0$ (je wilt verschillende tijdstippen) hou je
$$3t^2+3ta+a^2-3=0 \text{ en } 2t+a+1=0
$$over; daar is wel wat mee te doen, denk ik.

kphart
26-5-2021


Oppervlskte

Beste,

Zou u mij a.u.b. kunnen helpen? Het gaat om de volgende opgave als voorbeeld:

Gegeven is de parameterkromme K door: x(t) = -t2+ 6t en y(t)= -1/3t3+ 2t2. Bereken de oppervlakte van het vlakdee dat geheel wordt ingesloten door K.

Het is geen probleem om de t-waarden te vinden bij het dubbelpunt en ook het meest rechtse punt van de kromme bij t=3.

Maar dan: de bovenkant loopt van t=6 tot t=3, want dan zou volgens de theorie de dx positief zijn. Kunt u mij dit uitleggen? Voor mij is dx de breedte van zo'n "klein rechthoekje" (dus altijd positief zou ik denken)

Voor de onderkant loopt t van 0 naar 3 (dus dx ook positief??) Blijkbaar is de richting van de baan cruciaal om dx positief of negatief te laten zijn, maar ik snap dat niet...

Bij voorbaat heel erg bedankt voor uw antwoord.

Katrij
29-5-2021

Antwoord

Printen
Heel plat gesproken: van rechts naar links over een kromme beweegt raak je eigenlijk oppervlakte kwijt. Als je dus integreert van $t=3$ tot $t=6$ krijg je een negatief antwoord: de gezochte oppervlakte met een minteken.

Je kunt de onderkant en de bovenkant ook apart parametriseren:

q92298img1.gif
Voor de onderkant kun je de gegeven functies gebruiken met $0\le t\le3$.

Voor de bovenkant draai je de tijd om: neem vervang $t$ door $6-t$, want als $t$ van $0$ naar $3$ loopt beweegt $6-t$ van $6$ naar $3$ en dan beweegt het punt $\bigl(x(6-t),y(6-t)\bigr)$ dus bovenlangs van $(0,0)$ naar $(9,9)$.

kphart
29-5-2021


Booglengte

Beste
Mijn vraag is
Bereken de booglengte voor x element van [1,4] en y element van R plus
Van de semikubische parabool met vergelijking 27y2= 8(x-1)3.
Dank u wel

R.D
2-6-2021

Antwoord

Printen
Mijn hints:

- schrijf $y$ als functie van $x$, dus $y=f(x)$, met $f(x)=\dots$

-gebruik de formule voor booglengte die je waarschijnlijk geleerd hebt:
$$
\int_1^4\sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x
$$

kphart
3-6-2021


Re: Booglengte

Ik heb geprobeerd maar kom niet op juiste antwoord. Kunt u aub met stappen uitleggen?

R.D
10-6-2021

Antwoord

Printen
Wat dacht je van
$$f(x)=\sqrt{\frac{8(x-1)^3}{27}}=\frac{2\sqrt2(x-1)^{\frac32}}{3\sqrt3}
$$Kun je die differentiŽren, en de afgeleide kwadrateren?

kphart
10-6-2021


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3