De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Geschiedenis

Peano

Beste,

Peano en Zermelo:

Ik weet dat ZF systeem sterker is dan die van PA systeem omdat ZF meer axioma's biedt dan die van PA. PA systeem is de unieke die de rekenkunde formeel uit te drukken.
PA kan consistent zijn ( te bewijzen) binnen de regels van ZF systeem.

Mijn vraag is: kan ik op deze manier bewijzen dat rekenkunde consistent is?

Alvast bedankt.

Mik
12-1-2021

Antwoord

Printen
Meer axioma's maakt een theorie niet noodzakelijk sterker. En verder klopt het niet dat ZF meer axioma's dan PA heeft: zet de lijsten maar naast elkaar, ze zijn verschillend.

Wat wel klopt is dat je binnen ZF een structuur kunt maken die aan alle axioma's van PA voldoet; in feite zijn de axioma's van PA stellingen van ZF. Daarom is ZF sterker dan PA: het bewijst de consistentie van PA.

Maar, dit is een relatief consistentiebewijs: het heeft alleen betekenis als ZF zelf consistent is. En dat kan ZF niet van zichzelf bewijzen.

kphart
13-1-2021


Re: Peano

Hartelijk dank voor uw nuttige uitleg.

Wij dus niet op deze manier concluderen en bewijzen dat rekenkunde consistent is. Pas als ZF zelf consistent is. Heb ik goed geformuleerd?

Een ander punt: wat is eigenlijk hier de relatie PA, ZF met Gödel en consistentie?
Wat ik weet is dat veel diophanstische vergelijkingen niet bewijsbaar zijn binnen de PA systeem, ook niet binnen de natuurlijke getallen, mogelijk wel binnen ZF systeem denk. Is dat juist?

Dus als het systeem consistent is, dan is ie onvolledig.

De groeten van MI

Mi
13-1-2021

Antwoord

Printen
De betere conclusie is dat een consistentiebewijs voor PA een sterkere theorie moet gebruiken dan PA zelf, en ZF is daar een voorbeeld van. En alles staat of valt met de consistentie van die sterkere theorie natuurlijk.

De eerste onvolledigheidsstelling van Gödel zegt dat een consistente theorie met een recursieve axiomatisering en waarin elke recursieve functie beschrijfbaar is onvolledig is; de tweede stelling zegt dat zo'n theorie zijn eigen consistentie niet kan bewijzen. Zowel PA als ZF voldoen aan de voorwaarden van die stellingen.

Verder moet je wel leren beter te formuleren van "bewijsbare diophantische vergelijkingen" heb ik nog nooit gehoord. Heb je het hier over het tiende probleem van Hilbert, over het bestaan van een algoritme dat de oplosbaarheid van dergelijke vergelijkingen zou moeten vaststellen? Er is een `gewoon' bewijs (dus ook geldig binnen ZF) dat zo'n algoritme niet bestaat.

Je laatste zin klopt niet; er zijn theoriën, bijvoorbeeld die van de dichte lineaire ordeningen zonder maximum en minimum, die consistent en volledig zijn.

kphart
15-1-2021


Re: Re: Peano

Beste kphart,

Zoals ik weet was er een grote grondslagenstrijd tussen intuďtionisme en formalisme op een kant en intuďtionisme en logicisme op een andere kant.

Er was een vraag uit mijn opdracht waar ik moeite mee heb. Dat ik een voorbeeld onderwerp uit de VO noem waarover twee wiskundigen van verschillende stromingen met elkaar in discussie kunnen gaan en dat ik ook één zo’n mogelijke discussie tussen twee wiskundigen beschrijf.

Eerlijk gezegd heb ik hier moeite mee. Ik heb voor Euclidische meetkunde gekozen bijvoorbeeld vlakke meetkunde,
en daarna de niet Euclidische meetkunde,..., maar ben ik niet van overtuigd.

Graag vraag ik uw hulp hierbij. Alvast bedankt.

Met vriendelijke groet,

Mi

Mi
3-2-2021

Antwoord

Printen
Ik denk dat ik een onvoldoende voor zo'n opdracht zou scoren. Ik ben niet goed op de hoogte van allerlei filosofische stromingen en hoe die tegen bepaalde zaken aankijken.
Helaas.

kphart
4-2-2021


Het algemene is toch bijzonder

Hallo,
Kunnen en kennen wij eindelijk vermenigvuldigen en delen, komt er iemand op het idee dat het met logoritme makkelijker gaat. Dus eerst tafels maken, liefst met verschillend grondtal met pen en papier en dan lekker opzoeken. Hoe komt iemand op zo een idee en waarom vinden we dat nu normaal?
Groet

Lex
17-3-2021

Antwoord

Printen
Het zou te uitvoerig worden om hier het grote nut van logaritmen volledig te bespreken. Logaritme helpt om metingen met zowel kleine als heel grote waarden in een model (grafiek) te stoppen en daarmee te rekenen.

De logaritme is waarschijnlijk reeds bedacht in 1614 door de Schotse burchtheer John Napier dit om berekeningen te vereenvoudigen: vermenigvuldigingen worden omgezet in optellingen, machten worden omgezet in vermenigvuldigingen. Bedenk dat er destijds nog geen rekenmachines waren. Ook de voorloper van de rekenmachine, de rekenlineaal werkte met een logaritmische schaal. Ruim 40 jaar geleden stond zo'n rekenlineaal voor alle leerlingen van HAVO en VWO op de boekenlijst.

q91751img1.gif

Logaritmische schalen worden in de praktijk ook nog steeds gebruikt. Bijvoorbeeld de schaal van Richter (aardbevingen), de geluidssterkte in DB, de zuurgraad PH in de scheikunde zijn de 3 van de meest bekende.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
17-3-2021


Re: Het algemene is toch bijzonder

Ik ben overtuigd van het nut van logaritme. Ik ben alleen benieuwd waarom iemand dit uitvindt c.q. bedenkt. In de wiskunde is meestal eerst het idee en dan pas de toepassing?

Lex
17-3-2021

Antwoord

Printen
Dat staat er eigenlijk ook al: "De logaritme is waarschijnlijk reeds bedacht in 1614 door de Schotse burchtheer John Napier dit om berekeningen te vereenvoudigen: vermenigvuldigingen worden omgezet in optellingen, machten worden omgezet in vermenigvuldigingen."

Op Wikipedia staat verder: Napier is vooral beroemd geworden door zijn logaritmen. In die tijd werden door andere wiskundigen en astronomen, zoals Kepler, reeds zeer zware berekeningen uitgevoerd, die soms jaren in beslag namen en waarbij grote getallen moesten worden vermenigvuldigd of gedeeld. Er was dus behoefte aan een methode om de berekeningen te vereenvoudigen. Aan die behoefte werd voldaan door de introductie van de logaritmen.

In dit geval wat het probleem er dus eerder.

Dit is wat het is.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
17-3-2021


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3