De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Differentiaalvergelijking

Differentiaalvergelijking met beginvoorwaarde

ik heb een dv: (1+x2)y' + xy = 0 met beginvoorwaarde y(0)=2. ik kom voor de dv y = c/√1+x2 uit maar ik weet niet wat ik moet doen met die beginvoorwaarde en of mijn oplossing dan wel klopt?

elke
19-1-2021

Antwoord

Printen
Beste Elke,

Je (algemene) oplossing klopt en bevat dus nog de constante $c$.

De beginvoorwaarde "y(0) = 2" houdt in dat je precies de oplossing zoekt waarbij $y=2$ geldt wanneer $x=0$ is. Het volstaat om dit in te vullen in je algemene oplossing (vervang $y$ door $2$ en $x$ door $0$) en dan op te lossen naar (de enige overblijvende onbekende) $c$.

Lukt dat? Je zou $c=2$ moeten vinden.

mvg,
Tom

td
19-1-2021


Dv oplossen

Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking: xy2y'=(1/3√ln(3x)) met x$>$0.

ik weet echt niet hoe ik dit kan oplossen. kan iemand mij aub verder helpen? :)

elke
19-1-2021

Antwoord

Printen
Beste Elke,

De differentiaalvergelijking is scheidbaar, met $x$>$0$:
$$xy^2y'=\frac{1}{\sqrt[3]{\ln(3x)}} \iff y^2 y'=\frac{1}{x\sqrt[3]{\ln(3x)}}$$en dus:
$$\int y^2\,\mbox{d}y=\int\frac{1}{x\sqrt[3]{\ln(3x)}}\,\mbox{d}x$$Voor de integraal rechts kan je de substitutie $u=\ln(3x)$ gebruiken.

Kan je zo verder?

mvg,
Tom

td
19-1-2021


Re: Dv oplossen

de linkerlid heb ik wel kunnen oplossen, dat is zeker y^3/3 ? Maar de rechterlid vind ik wat lastiger. wat moet ik dan doen met de x dat naast de wortel staat? hoe kan ik het beste de vergelijking met u opstellen?

elke
19-1-2021

Antwoord

Printen
Beste Elke,

Het linkerlid klopt, voor het rechterlid had ik de substitutie $u=\ln(3x)$ aangeraden. Als je dit soort differentiaalvergelijkingen wil oplossen, moet je eerst integralen goed onder de knie hebben.

Met $u=\ln(3x)$ heb je $u'(x)=1/x$ zodat 1/x dx overgaat in du:
$$\int\frac{1}{x\sqrt[3]{\ln(3x)}}\,\mbox{d}x \to \int\frac{1}{\sqrt[3]{u}}\,\mbox{d}u=\int u^{-\frac{1}{3}}\,\mbox{d}u$$Als je dit moeilijk kan volgen, kijk je best eerst nog eens goed naar de substitutiemethode.

mvg,
Tom

td
19-1-2021


Re: Re: Dv oplossen

dankjewel, ik snap het nu. Klopt het dat ik dan voor de rechterlid (3ln(3x)2/3)/2 + c moet uitkomen?
want dan heb ik geprobeerd om y te berekenen en ik kom daarvoor y= ((9√ln(3x)2)/2 + c)1/3 uit. Maar ik ben niet zeker of dit juist is. want ik had eerst y3=... dus ik heb beide kanten tot wortel 3 verheven.

elke
20-1-2021

Antwoord

Printen
Beste Elke,

Het resultaat van die integraal is inderdaad:
$$\frac{3}{2}\left(\ln(3x)\right)^{\frac{2}{3}}+c$$en met linkerlid $y^3/3$ kan je dan inderdaad beide leden met $3$ vermenigvuldigen en vervolgens de derdemachtswortel nemen om naar $y$ op te lossen.

mvg,
Tom

td
20-1-2021


Een differentiaalvergelijking oplossen

Hoe los je de DV f'(x)+3f(x)=1 op?
Ik heb problemen met die 1

nico v
8-2-2021

Antwoord

Printen
Het is een lineaire vergelijking; die gaat meestal in drie stappen.
1. Los de homogene op: $f'+3f=0$ (algemene oplossing $f_h(x)=Ce^{-3x}$, met $C$ een vrij te kiezen constante)
2. Zoek n (particuliere) oplossing $f_p$ van de vergelijking zelf; hier kun je met een scheef oog zien dat de constante functie $f_p(x)=\frac13$ een oplossing is.
3. Combineren, wegens de lineariteit is elke oplossing van de vorm $f(x)=f_p(x)+f_h(X)$, dus de algemene oplossing is $f(x)=\frac13+Ce^{-3x}$, met $C$ vrij te kiezen (die hangt meestal van een beginvoorwaarde af).

Ad 2: daar zijn ook gerichte methoden voor: variatie van constante (probeer $f_p$ van de vorm $C(x)\cdot e^{-3x}$, na invullen komt er een primitiveerprobleem voor $C'$), of integrerende factor (vermenigvuldig de hele vergelijking met $e^{3x}$, en herken links de afgeleide van $f(x)\cdot e^{3x}$, dan heb je weer een primitiveerprobleem).

kphart
8-2-2021


Hoe bereken ik de algemene oplossing?

Gegeven: y'+4y=t+e-2t
Gevraagd: bereken de algemene oplossing met behulp van de integrerende factor.

Ik heb de uitwerking op papier maar ik begrijp niet dat vanaf een bepaald punt er wordt overgegaan op partieel integreren. En hoe gaat dat dan? En hoe weet je dat je de rest moet oplossen met partieel integreren?

Graag een uitwerking met tips.
Alvast hartelijk bedankt.

Sophie
10-2-2021

Antwoord

Printen
De integrerende factor is zo te zien $e^{4t}$ als je daarmee vermenigvuldigt kun je de DV lezen als
$$(y\cdot e^{4t})'=te^{4t}+e^{2t}
$$Om de oplossing af te maken moet je dus $te^{4t}+e^{2t}$ primitiveren, daarvan gaat $e^{2t}$ makkelijk en gebruik je voor $te^{4t}$ partile integratie.
Hoe dat werkt kun je via onderstaande link zien (vooral Voorbeeld 2).
Zie Partieel integreren

kphart
10-2-2021


Differentiaalvergelijking onderzoeksopdracht

Een gemeenschap van 1000 mensen is homogeen samengesteld. En persoon keert uit het buitenland terug met een griepvirus. Onderstel dat de thuisgemeenschap niet ingent is tegen griep en allen vatbaar zijn voor deze ziekte. Bovendien is de mate van de verandering van het aantal besmette personen evenredig met het product van het aantal besmette en het aantal niet besmette personen. Na 7 dagen zijn er tien personen besmet.

Wij hebben eigenlijk alleen het begin nodig, de berekening kunnen we zelf!(Mag altijd erbij)

DirtyP
14-2-2021

Antwoord

Printen
In het verhaaltje staat de volgende differentiaalvergelijking verstopt:
$$\frac{dz}{dt}=\alpha\cdot z(1000-z)
$$Hierin is $z$ het aantal besmette personen, en $\alpha$ de nog onbekende evenredigheidsconstante.

Deze DV kun je met scheiding van variabelen oplossen, dan heb je daarin de nog onbekende $\alpha$ en een onbekende constante $C$. Die twee kun je vinden uit de gegevens dat $z(0)=1$ en $z(7)=10$.

kphart
14-2-2021


Kan iemand de uitwerking geven van deze drie vragen?

1) (dy(t)/dt) + at2 + b = 0

2) x(dx(t)/dt) + bt = 0

3) (dk/dt) + k = 3

Luuk
18-2-2021

Antwoord

Printen
De eerste opgave kun je opnieuw schrijven als $\displaystyle dy/dt=-at^2-b$. Daar staat links de afgeleide van een functie en rechts een veeltermfunctie. Om de oorspronkelijke functie $y(t)$ te vinden kun je nu beide leden integreren. Je vindt dan $\displaystyle y(t)=-at^3/3-bt+c$.

De tweede opgave kun je schrijven als $\displaystyle x dx = - bt dt$. Kun je nu door integratie zelf $x(t)$ bepalen?

De derde opgave kun je schrijven als $\displaystyle \dfrac{dk/dt}{3-k}=1$.
Je kunt hier ook weer beide leden integreren:

$\displaystyle \int \dfrac{dk/dt}{3-k} dt = \int 1 dt$

Het vergelijking wordt dan:

$\displaystyle \int \dfrac{1}{3-k} dk = \int 1 dt$

Laat maar weten of het je lukt.

js2
18-2-2021


Scheiding van variabelen

Een groep van 800 mensen - studenten, vrienden, verloofden, ouders, etc. - zit op het einde van het academiejaar gespannen te wachten op de proclamatie van de resultaten. Iemand uit deze groep beweert dat hij/zij het - uiteraard foutieve - gerucht heeft opgevangen dat slechts 15% van de studenten geslaagd is.

Dit onrustbarende nieuws verspreidt zich als een lopend vuurtje. Sociologen beweren dat de mate van de toename van het aantal mensen dat het gerucht vernomen heeft evenredig is met het product van het aantal mensen die het gerucht gehoord hebben en het aantal mensen die het gerucht nog niet gehoord hebben. Als na ́n minuut al 50 mensen het gerucht opgevangen hebben, na hoeveel tijd heeft 95% van de aanwezigen het gerucht gehoord?

Aanwijzing: om de integraal te berekenen gebruik je dat:

𝑎𝑦 .(𝑎−𝑦) = 1𝑎−𝑦 + 1𝑦

Kan iemand mij op weg helpen bij dit vraagstuk? Ik geraak er echt niet wijs uit.

Janne
18-2-2021

Antwoord

Printen
Je krijgt een DV van de vorm
$$\frac{dy}{dt} = k\cdot y\cdot (a-y)
$$met $a=800$ in dit geval, en $k$ de evenredigheidsconstante.
Als je de variabelen scheidt krijg je
$$\frac1{y(a-y)}dy=k\,d t
$$en met de hint wordt dat
$$\frac1a\left(\frac1{a-y}+\frac1y\right)dy=k\, dt
$$Nu kun je gaan primitiveren.

kphart
18-2-2021


Scheiding van variabelen

𝑑𝑥𝑑𝑡+2𝑥=4 cos⁡(2𝑡) met beginvoorwaarde 𝑥(0)=2

a) Is deze differentiaalvergelijking van eerste orde lineair of niet? Leg kort uit.

b) Zoek uit hoe je in het algemeen zon differentiaalvergelijking van eerste orde oplost. Noteer zorgvuldig de werkwijze en alle tussenstappen.

c) Gebruik de methode beschreven in b) om de gegeven differentiaalvergelijking op te lossen.

Wij hebben deze vraag gekregen van onze leerkracht dit voorgeschoteld.
Kan iemand ons helpen met oplossen van die vergelijking?

Janne
20-2-2021

Antwoord

Printen
Omdat ik vermoed dat jullie leraar wil dat jullie n en ander zlf uitzoeken/uitproberen: volgende site kan jullie ongetwijfeld op weg zetten. Vervang $x$ door $y$ en $t$ door $x$ en je komt een heel eind denk ik. Laat maar weten wat lukt en wat niet! Dan kunnen we jullie altijd verder helpen.
Zie Lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde

js2
20-2-2021


Scheiden der veranderlijken

'Een gebied heeft een maximale bevolkingscapaciteit van 200 miljoen mensen. Op elk tijdstip t is de mate van de toename van de bevolking evenredig met het verschil van de bevolkingscapaciteit en de bevolking op dat moment. Aanvankelijk leven er 50 miljoen mensen, en tien jaar later zijn er al 109 miljoen mensen.'

Kan iemand mij verder helpen? Ik zit vast.

Wat ik al denk te hebben gevonden vind je hier, of dit juist is weet ik echter niet.

t= tijdstip in jaren Tijdstip t: mate toename bevolking ~ (bevolkingscapaciteit - bevolking dat moment) t=0: bevolking dat moment = 50 miljoen
dy/dt= mate toename bevolking
dy/dt= k y(t)
k= groeisnelheid
y(t)= mensen in populatie
t=0 ? y(t) = 50 miljoen mensen (0 ~ 150) t=10? y(t) = 109 miljoen mensen (10 ~ 91)

f'(x)=k fx)$\le$ dy/dt=k y(t)$\le$ dy=kydt $\le$ dy/y=kdt
$\le$ln(y)=k+C $\le$e^ln(y)=ek+C $\le$ y=ek e^C
$\le$ y=ek C'

Alvast bedankt voor de hulp!

Emma
27-2-2021

Antwoord

Printen
Hallo Emma,

Ik begrijp je notatie niet goed. Ik zie ergens staan:

dy/dx=ky(t)

Dit is in ieder geval onjuist. In woorden geef je hiermee aan: "De mate van toename van de bevolking is evenredig met de bevolking op dat moment". Dit is niet wat in de opgave staat. Gegeven is:
"De mate van toename van de bevolking is evenredig met het verschil van de bevolkingscapaciteit en de bevolking op dat moment".

Het verschil van de bevolkingscapaciteit en de bevolking op dat moment (in miljoenen) is te noteren als 200-y(t). Hiermee wordt de differentiaalvergelijking:

dy/dt = k(200-y(t))

Scheiding van veranderlijken geeft:

dy/(200-y(t)) = kdt

Lukt het je om deze differentiaalvergelijking op te lossen?

Je zult zien dat je twee onbekende constanten overhoudt: k en de gebruikelijke integratieconstante. Gelukkig heb je twee randvoorwaarden:
y(0)=50
y(10)=109

Lukt het hiermee om ook deze constanten te berekenen?

GHvD
27-2-2021



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie IIb