De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Differentiaalvergelijking

Constante coefficienten

Ik heb de volgende differentiaalvergelijking

dv2/dt + (3.c.y)/(2d) = 2.e

hierbij is c,d en e een bekende van densiteiten maar makkelijker om het hier zo te schrijven.

Toon dit aan door middel van de oplossingsmethode voor een lineaire differentiaalvergelijking met constante coŽfficiŽnten (met andere woorden algemene oplossing van de homogene vergelijking (=zonder tweede lid) plus particuliere oplossing van de differentiaalvergelijking met tweede lid.

In dit geval is de algemene oplossing een exponentieel dalende functie en de particuliere oplossing de constante uitdrukking voor

Het is nodig/nuttig aan te geven hoe snel die exponentieel dalende functie uitsterft.

kim
13-2-2018

Antwoord

Printen
De oorspronkelijke vergelijking was
q85691img1.gif
Ik zou die vergelijking eerst even vereenvoudigen tot
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+ay=b
$$
met $y=v^2$, en $a=3\rho_\nu c_w/(2d\rho_h)$ en $b=2(\rho_h-\rho_\nu)g/\rho_h$ dus. Dat is wat overzichtelijker.
De bijbehorende homogene vergelijking is $y'+ay=0$ en die heeft $y=C\mathrm{e}^{-at}$ als oplossing.
Een particuliere oplossing kun je bijna direct zien: $a$ en $b$ zijn constant, dus je kunt een constante functie proberen en, inderdaad, $y_p(t)=b/a$ is een oplossing.
De algemene oplossing is dus
$$
y(t)=\frac ba+ C\mathrm{e}^{-at}
$$
Nu kun je weer invullen wat $a$ en $b$ waren en kijken of je die kwalitatieve vragen kunt beantwoorden.

kphart
14-2-2018


Verband tussen een afgeleide en het getal e

Het college gaat over het modelleren van dynamische systemen waarbij als voorbeeld de ontwikkeling van de omvang van een populatie bacteriŽn wordt bekeken. Hierbij wordt gebruik gemaakt van ODE (Ordinary Differential Equations)

Titel video: Mathematical Biology. 01: Introduction to the Course



In de video tussen moment 3.42 en 7.58 wordt vanuit een afgeleide teruggewerkt naar een functie.

N is het aantal bacteriŽn op enig moment dN/dt betreft de groei en men neemt aan dat dat gebeurt volgens KN waarbij K een constante zou zijn.

N(t) betreft aantal bacteriŽn in de tijd.
voorbeeld : 1, 2, 4, etc. (wordt hier 2t bedoeld?)

Er gelden twee aannames:
  1. t is een reel getal
  2. N is een reel getal
dN/dt=k∑N (waarom?)

Vervolgens wordt aangegeven dat de onbekende bij een ODE een functies is dat deze functie N(t) er als volgt uit ziet:
N(t)=ekt (waarom?)

Alvast hartelijk dank!

Gerard
27-3-2018

Antwoord

Printen
Er geldt:

$\eqalign{\frac{dN}{dt}=k∑N}$

Dat wil zeggen dat de afgeleide evenredig is met het aantal bacteriŽn. Hoe groter $N$ hoe groter $N'$. Je moet je voorstellen dat $N'$ de afgeleide is van $N$ en dat $N$ een functie is van $t$. We zijn dus op zoek naar een functie $N$ waarvan de afgeleide $k∑N$ is. We zoeken een functie die, op een constante na, zijn eigen afgeleide is. Dat is $y=e^x$.

Neem $N(t)=e^{kt}$. De afgeleide is gelijk aan $N'(t)=k∑e^{kt}$. Dit is de oplossing! Er geldt: $N'(t)=k∑N(t)$. Mission accomplished!

Het gaat hier om het oplossen van differentiaalvergelijkingen. De oplossing is een functie!

Bij de FAQ's kan je nog meer vinden, maar ik raad je aan een cursus te doen. In de gangbare methodes kan je die wel vinden!

WvR
28-3-2018


Differentiaalvergelijkingen

Beste,

Ik kom maar niet uit de volgende opgaven.

Los de volgende diferentiaalvergelijkingen op. Neem hierbij eerst aan dat z(0) = z0=1 is en beschouw dan het geval z0=0.

vraag d)
dz/dt = 3z2
ofwel z'(t) = 3z2
z'(t)/z(t)2 = 3
Úz'(t)/dt*1/z2 = Ú3
1/1*ln(z2)+C0 = 1/3*z3+ C1
ln(z2)+c0 = 1/3*z3 + C1
ln(z2) = 1/3*z3 + C
z2 = e^1/3*z3 + e^C
En hier ben ik maar gestopt toen ik zag dat het antwoord z(t) = 1/(1-3t) moest zijn voor z0=1.

Een andere opgave:

dz/dt = 2z*(3t-2)

dz/2z = (3t-2)*dt
Údz/2z = Ú(3t-2)*dt
1/2* ln(2z)+C0 = 11/2t2 +C1
ln(2z)= 3t2*2t2+C
2z = e^3t2*2t2+C
z = ...
Het begint op het antwoord te lijken, maar ik heb toch iets mis gedaan. Het juiste antwoord:

z(t) = e^3t2-4t als z0=1

Martin
30-4-2018

Antwoord

Printen
Ik zou mijn primitieven maar eesn opfrissen als ik jou was:
Ten eerste
$$
\int \frac{z'(t)}{z(t)^2}\,\mathrm{d}t=-\frac1{z(t)}
$$en rechts: $\int 3\,\mathrm{d}t=3t+C$.
Ten tweede je linkerkant klopt, maar kan wat simpeler: $\frac12\ln z$ en je rechterkant deugt niet: $\int 3t-2\,\mathrm{d}t = \frac32t^2-2t +C$.

kphart
30-4-2018


Toepassen differentiaalvergelijking

Hallo,

Ik ben bezig met een opgave waar je m.b.v. een differentiaalvergelijking de oplossing moet kunnen vinden. Maar ik loop vast halverwege. Ik heb plaatjes ingestuurd voor het gemak.



Op het ruitjespapier heb ik geprobeerd de vraag te beantwoorden.



De onderste regel geeft de uiteindelijke formule waaruit 2mg/liter en 38.4 uur moet komen.

Lizzy
30-4-2018

Antwoord

Printen
Hallo Lizzy,

Tot en met het opstellen van de integraal gaat het wel goed, maar daarna maak je er een rommeltje van. Ten eerste: na primitiveren hoort 'dm' niet meer in je vergelijking voor te komen. Verder: t/5 is niet hetzelfde als t-5. In je e-macht is de variabele 'm' verdwenen, en je hebt een rekenfout gemaakt: 0,3/5=0,06 en niet 0,6.
Noteer zorgvuldig, dat voorkomt dit soort vergissingen, en neem niet te grote denkstappen.

Hieronder zie je mijn uitwerking:

q86170img2.gif

Voor t=0 geldt: m=0. Wanneer je deze randvoorwaarde in de laatste vergelijking invult, vind je: K'=-2. Hiermee wordt de uiteindelijke oplossing:

m = -2e-0,06t+2.

Voor zeer grote waarden van t gaat de e-macht naar nul, zodat m uiteindelijk naar 2 mg/liter gaat.
Dit hadden we ook vooraf kunnen inzien: wanneer de concentratie een eindwaarde bereikt, is de verandering dm/dt=0. In de op te lossen vergelijking zien we dan:

0,6-0,3m = 0

Ook hieruit volgt: m=2 mg/liter.

Nu je de juiste formule hebt, kan je de overige vragen wel beantwoorden, denk ik. Voor een algemene waarde van $\alpha$ volg je precies dezelfde procedure. De in te stellen waarde van $\alpha$ om m=0,5 te bereiken, kunnen we op dezelfde manier voorspellen:
Uiteindelijk moet gelden:

dm/dt=0

dus:

$\alpha$-0,3m=0

Voor m=0,5 wordt dit:

$\alpha$=0,3∑0,5
$\alpha$=0,15.

Maar dit moet natuurlijk ook uit jouw oplossing van de differentiaalvergelijking komen!

GHvD
30-4-2018


Differentiaalvergelijking bevolkingsgroei van Verhulst

Goede middag,
Ik ben aan het kijken naar een DV van VERHULST over Bevolkingsgroei:Het is mij een raadsel hoe men aan het min teken komt bij
KMt+C'= ln(N)-ln(M-N) =ln(N/(M-N)(∑)

Terwijl in de vorige regel geschreven staat dat :
DN/((N).(M-N)) = 1/M((1/N)+1/(M-N)) waar ik een plusteken zie staan in de uitdrukking van 1/(M-N). Of is M kleiner dan N misschien?

N(t)) omvang populatie op een zeker ogenblik en M-N(T) =groeiruimte die er bestaat met M maximale omvang van de populatie. Is soms M-N $<$0 dan klopt het rekenwerk natuurlijk.. En moet er een -teken staan zoal in de website te zien is.(verschil van logaritmen..)
Graag een woordje uitleg.
Vriendelijke groeten,
Rik

Rik Le
7-5-2018

Antwoord

Printen
Weet je hoe je een functie moet integreren? De integratieveranderlijke is N. Wat is volgende integraal:

$\eqalign{\int \frac{1}{-x}dx}$?

En $\eqalign{\int \frac{1}{1-x}dx}$?
Wat is dan $\eqalign{\int \frac{1}{M-N}dN}$?

js2
7-5-2018


Met behulp van tekst formules opstellen

Beste,

Met de volgende vraag loop ik vast:

Om de concentratie van CO langs een verkeersweg te bepalen pompen we de vervuilde buitenlucht in een monsterfles met mengschoten. Na enige tijd wordt de fles afgesloten en voor onderzoek meegenomen. De inhoud van de fles bestaat dan voor een gedeelte P uit vervuilde lucht, en voor een deel 1-P uit schone lucht. We willen P(t) bepalen.
De fles heeft een inhoud van V=0.5 L. Het pompje heeft een snelheid van 1.5 L/min.
  • Hoeveel liter verontreinigde lucht bevat de fles op tijdstip t, uitgedrukt in P(t)?
  • Stel een balansvergelijking op voor het volume van de verontreinigde lucht in de fles.
  • Stel een differentiaalvergelijking voor P(t) op.
Bij de eerste vraag dacht ik dat 1-P gelijkgesteld moest worden aan 0.5L omdat dit het volume is, maar blijkbaar is dit niet correct.. Zou u mij kunnen helpen met hoe dit wel moet?

Verder snap ik totaal niet hoe ik de tweede vraag moet aanpakken, zou u mij opweg kunnen helpen?

Bij het opstellen van een differentiaalvergelijking, weet ik dat de vergelijking gedeeld moet worden door de (in dit geval) delta t, maar wat ik niet begrijp is hoe er dan plots een afgeleide kan ontstaan terwijl er boven de deelstreep een hele vergelijking staat. (Dit kwam ook voor bij een eerdere vraag, maar omdat het hier ook voorkomt besloot ik dit hier in een keer te vragen)

Bij voorbaat dank!

A
11-5-2018

Antwoord

Printen
Wanneer p de proportie vuile lucht is in de fles, en de fles heeft een volume van 0,5 liter, dan bevat de fles p∑0,5 liter vuile lucht en (1-p)∑0,5 liter schone lucht. Wanneer p afhangt van t (zoals in dit geval), dan noteren we dit als p(t). Het volume vuile lucht in de fles, uitgedrukt in p(t), is zodoende:
V(t)vuile lucht=0,5∑p(t).

Met de balansvergelijking wordt bedoeld: 'de snelheid waarmee het volume vuile lucht in de fles toeneemt, is gelijk aan de volumestroom vuile lucht die de fles in gaat, verminderd met de volumestroom vuile lucht die de fles uit gaat'.
De volumestroom vuile lucht naar binnen is gegeven:
dV/dt,in=1,5 l/min.

Uiteraard stroomt er in totaal ook 1,5 l/min lucht de fles uit, maar dit bestaat uit p∑1,5 l/min vuile lucht, de rest is schone lucht. Ofwel:
dV/dt,uit=p∑1,5 l/min.

Voor de snelheid waarmee het volume vuile lucht binnen in de fles verandert, volgt uit de balansvergelijking:

dV/dt,binnen de fles=dV/dt,in-dV/dt,uit
dV/dt,binnen de fles=1,5-p∑1,5
dV/dt,binnen de fles=1,5(1-p)

Bij de eerste vraag hadden we al gevonden:
Vvuile lucht in fles=0,5∑p
dus ook:
dV=0,5∑dp

(Het volume vuile lucht verandert half zo snel als de proportie. Dit konden we ook wel raden: als de proportie vuile lucht zou veranderen van 0 naar 1, dan verandert het volume vuile lucht in de fles van 0 naar 0,5 liter).

De balansvergelijking wordt hiermee:
0,5∑dp/dt=1,5(1-p)
dp/dt=3(1-p)

Hiermee is de differentiaalvergelijking voor p(t) klaar. Deze is op te lossen met behulp van de methode 'scheiden van variabelen':

1/(1-p)∑dp = 3∑dt
enz.

GHvD
12-5-2018


Afwerking DV na oplossing

Goede morgen ,
Ik geef hierbij volgende DV
dt/(e^y+2)=dt
Ik stel e^y+2=p en ey=p-2
DifferentiŽren geeft e^ydy=dp en
dp(p(p-2)) =dt
nu is na rekenwerk :
1/=( Ap-2A+Bp) met weglating noemers
A=-1/2 EN B=1/2
Integratie geeft :
INT( -1/2dp/p+1/2dp/(p-2))=INTdt
-1/2ln(p)+1/2ln(p-2)= t+C'
1/2 ln|(p-2)/p)|=t+C'
Ln|(p-2/p)|=2t+2c'
(p-2)/p=e^2t.2c'
(p-2)/p=^Ce^2t
Vervangen door het gestelde :
e^y/(e^y+2)=Ce^2t
En zit ik vast want de oplossing(Wolfram)geeft :
y(t)=-(ln(Ce^-2t-1/2)...Waar loopt mijn redenering fout ?,
Vriendelijke groeten
Rik

Rik Le
19-5-2018

Antwoord

Printen
Je kunt je oplossing omwerken tot die van Wolfram$\alpha$.
Eerst oplossen naar $e^y$:
$$
e^y=\frac{2Ce^{2t}}{1-Ce^{2t}}
$$Daar kun je
$$
e^y=\frac1{Ce^{-2t}-\frac12}
$$van maken (de nieuwe $C$ is uitgedrukt in de oude $C$ als $1/(2C)$).
Nu de logaritme nemen.

kphart
19-5-2018


Re: Afwerking DV na oplossing

Dag Klaas-pieter,
Bedankt voor uxw reactie. Kan mijn oplossing ook als geldig worden ingeroepenomdat uw laatste resultaat daaruit toch is afgeleid?. Wel knap gedaan en meer overzichtelijk is uw antwoord toch tov het mijne..
GRoetjes
Rik L.

Rik Le
19-5-2018

Antwoord

Printen
Dat hangt er van af: als de vraag is $y$ expliciet in $t$ uit te drukken dan moet je dus echt doorwerken tot je $y=\dots$ kunt schrijven.Ik denk dat de meesten toch zeker tot $e^y=\dots$ zouden willen gaan omdat dat er wat explicieter uitziet.

kphart
19-5-2018


Meerkeuze

Ik heb 2 meerkeuzevragen (de eerste gaat wel over differentievergelijkingen):

Beschouw de diferentievergeijking yn+2 - yn+1 - 2yn = 3n2. Welke vorm zou je voorstellen voor een particulier oplossing van deze vergelijking? In elk van onderstaande voorstellen staan parameters a,b,c voor nader te bepalen constanten in

A) yn = an2
B) yn = an3
C) yn = an2 + bn+ c
D) yn =an3+bn2+cn

Ikzelf denk dat het antwoord C is maar ik zou graag bevestiging hebben

vraag 2:
Beschouw een homogene lineaire differentiaalvergelijing van de 2e orde: y" + P1(x)y' + P0(x)*y = 0. Welke zijn de minimale voorwaarden die je op de coŽfficientenfuncties p0 en p1 moet opleggen om er zeker van te zijn dat een lineaire combinatie van twee oplossingen van de vergelijking opnieuw een oplossing is?

A) p0 en p1moeten beide integreerbaar zijn
B) p0 en p1 moeten beide continu zijn
C) p0 en p1 moeten beide afleidbaar zijn
D) geen enkele voorwaarde

hier denk ik dat het antwoord B is. ALvast bedankt!

Lotte
4-6-2018

Antwoord

Printen
1C klopt inderdaad; dat is wat de theorie voorspelt.

2B klopt niet, het is D: de nulfunctie is zeker een oplossing (hoe lelijk $P_1$ en $P_2$ ook zijn) en voor het controleren dat lineaire combinaties van oplossingen weer oplossingen zijn doet de vorm van die functies er ook niet toe.

kphart
4-6-2018


Differentiaalvergelijkingen

Ik voeg de opdracht toe via het plaatje:



Mijn voorstel voor de functie is c'(t) = -30 ∑ c(t) /300 omdat het een hogene functie is van de eerste graad is het niet zo heel moeilijk op te lossen. c(t) = Ae-1/10∑t

Ik weet dat het antwoord t = ln(1/2)/-0,1 = 6,93 is

Ik zie niet meteen hoe men hieraan komt, vooral de 1/2 zie ik niet waar die vandaan komt, alvast bedankt voor u hulp!

Lotte
5-6-2018

Antwoord

Printen
Hallo Lotte,

Als oplossing van je differentiaalvergelijking heb je gevonden:

c(t)=Ae-0,1t

Invullen van t=0 laat zien dat A de beginhoeveelheid chloor is. De vraag is voor welke t deze hoeveelheid gehalveerd is. Je moet dus oplossen:

Ae-0,1t = 1/2A
e-0,1t = 1/2
-0,1t = ln(1/2)
t = ln(1/2)/-0,1

OK zo?

GHvD
5-6-2018


Differentiaalvergelijkingen

Hallo,

Het SIR model beschrijft hoe een epidemie zoals de griep zich in de tijd over de bevolking verspreid. Dit model bestaat uit drie gekoppelde niet-lineaire differentiaalvergelijkingen.

$\eqalign{\frac{dS}{dt} = -\beta SI}$
$\eqalign{\frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I}$
$\eqalign{\frac{dR}{dt} = + \gamma I }$

Er schijnt geen expliciete oplossing te zijn voor dit systeem, maar wel een parametrische.

Ik heb twee vragen:
  1. Hoe weet je zeker of er geen explicite oplossing is voor een systeem systeem als dit? Met een expliciete oplossing bedoel ik een formule voor S, I en R met tijd als onafhankelijke variabele.
  2. Wat is een parametrische oplossing?

Gerard
5-6-2018

Antwoord

Printen
1. Dat vergt geavanceerde algebra, zogeheten Differentiaalalgebra; daarvoor bestaat een Galoistheorie die karakteriseert wanneer een differentiaalvergelijking een oplossing in elementaire formulevorm heeft. Hieronder een link naar het artikel waarin het model werd geintroduceerd. Zie pagina 713 (14 in de PDF) $S$, $I$ en $R$ heten daar respectievelijk $x$, $y$ en $z$; daar wordt na enige manipulatie een differentiaalvergelijk voor $z$ (voor $R$ dus) afgeleid die aan de voorwaarden voldoet om geen elementaire oplossing te hebben.

2. Ik weet niet geheel zeker wat met een parametrische oplossing wordt bedoeld maar ik kan raden: het zou een relatie tussen de functies onderling kunnen zijn. Het geval wil namelijk dat je $R$ en $I$ makkelijk in $S$ kunt uitdrukken:
$$
\frac{dR}{dS}=-\frac\gamma\beta S^{-1}
$$en
$$
\frac{dI}{dS}=-1+\frac\gamma\beta S^{-1}
$$En dus $R=-\frac\gamma\beta\ln S +c$ en $I=-S+\frac\gamma\beta\ln S +d$.

Kun je de volledige formulering uit je bron geven? Dan zou ik misschien kunnen deduceren wat echt met `parametrisch' wordt bedoeld.
Zie A contribution to the mathematical theory of epidemics

kphart
6-6-2018



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2018 WisFaq - versie IIb