De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Differentiaalvergelijking

Differentiaalvergelijkingen

Goed avond,
Ik tracht via een 0substitutie differentiaalvergelijkingen op te lossen. Ik tracht zo met een DV te komen staan met te scheiden variabelen. Maar ik kom er alleen uit voor a)(gewone oplossing en scheiden variabelen) uit maar b) niet.0
a) y'=x2/(1-y) of dy=x2/(1-y)dx
b)y'=xy/(x+y)

Voor de eerste gebruikte ik scheidning variabelen.:
a) (1-y)dy=x2dx
dy-ydy=x2dx
y-y2/2= x3/3 +C

b) hier gebruikte ik de substitutie xy= v en ook x+y=t maar
y'=xy/(x+y)
Voorbeeld
xy=v of y=v/x en dy= xdv-vdx
xdv-vdx= v/(x+v/x)
xdv-vdx=((vx)/(x2+v))dx (x2+v) is niet nul
xdv-vdx=(vx)dx/(x2+v)
x3dv+vxdv-vx2dx-v2dx=vxdx

Poging x+y=t lukte ook niet.

Men vraagt dan ook voor iedere vergelijking hetsveld in en (x,y)stelsel weer te geven.
Hier geraak ik vast....
Welke substitutie zouden jullie mij aanraden ? En hoe teken ik die grafieken?
Of moet er iets anders gebeuren?
Groetjes

Rik Le
5-1-2019

Antwoord

Printen
De tweede vergelijking lijkt geen `mooie' oplossing te hebben; Maple geeft geen oplossing in formulevorm.

Hier is een plaatje van het richtingsveld van die vergelijking:

q87399img1.gif

Daaraan kun je zien wat het kwalitatieve gedrag van de oplossingen is.

Je maakt het door in een (groot) aantal punten een pijltje te tekenen met helling $y'(x)$ en dat is dus $xy/(x+y)$.

kphart
6-1-2019


Re: Differentiaalvergelijkingen

Dank u Klaas Pieter ,
Ik dacht al dat er voor b) geen pasklare oplossing is ! Ga morgen dat richtingsveld eens nader bekijken. Goede nacht en dank voor je antwoord!

PS.
Y'(x) = (xy)/(x+y), meende ik als ik de opgave b)bekijk... en niet xy/(y-x) Of zit ik verkeerd en mis ik ergens iets ?

Rik

Rik Le
6-1-2019

Antwoord

Printen
Het kan aan de browser liggen, bij mij zie ik een $+$ in $xy/(x+y)$.

kphart
7-1-2019


Re: Re: Differentiaalvergelijkingen

Dag Klaas Pieter
Nu zie ik het plusteken duidelijker .
Ik neem een punt (1,1) en zie dat dit 1/2 oplevert in de op te lossen DV. Dit is de helling van de rechte door dit punt.( BG tan(1/2)=26,57 In dat punt moet ik dan de rechte tekenen y=(1/2)x+1/2 (door punt (1,1) dat op die rechte ligt die dan automatisch die helling van 26,57 bezit en dan in dat punt een kleine kromme tekenen.
Dus y' heeft 26,57 helling.
kunt U nog eens een paar punten voor mij uitrekenen zodat ik kan zien wat de juist berekening is. Waarvoor oprechte dank.
Rik

Rik Le
7-1-2019

Antwoord

Printen
Inderdaad, de oplossing die door $(1,1)$ gaat heeft in dat punt helling $\frac12$, en de rechte die je geeft is daar de raaklijn aan die oplossing. Het is niet nodig de bijbehorende hoek te bepalen, voor het tekenen heb je aan de helling genoeg.

Zo kun je een tabel van waarden maken en vervolgens de lijnstukjes tekenen.

punt helling
(1,0) 0
(1,1) 1/2
(1,2) 2/3
(1,3) 3/4
(2,0) 0
(2,1) 2/3
(2,2) 1
(2,3) 6/5

Enzovoort.

kphart
8-1-2019


Algemene oplossing differentiaalvergelijking

Hallo,
Hoe kan ik aantonen dat u = x + Cex de algemene oplossing is van de differentiaalvergelijking du/dx = u - x + 1? Ik begrijp niet hoe ik dit moet aanpakken.

Dennis
15-1-2019

Antwoord

Printen
Bereken eerst de afgeleide $\dfrac{du}{dx}= 1+Ce^x$. Hierna vul je deze en de oorspronkelijke functie in in de vergelijking:

$1+Ce^x=x + Ce^x -x +1$

Het is evident dat deze laatste gelijkheid waar is, dus de gegeven $u$ is inderdaad een oplossing.
Duidelijk zo?

js2
16-1-2019


Welke substitutie gebruiken bij gegeven DV?

Goede dag,
Gegeven is de DV :
dy/dx=xy/(x+y)
Ik probeer de substitutie xy= v en ook x+y= v maar ik kom niet op een scheiding van variabelen uit. Wat gaat er mis? Of is er een betere suggestie bekend in dit geval....
Met vriendelijke groeten

Rik Le
20-1-2019

Antwoord

Printen
Ik heb de differentiaalvergelijking door Maple op laten lossen en Maple gaf geen antwoord, niets iets met speciale functies er in. Dat is een zeer sterke aanwijzing dat deze vergelijking geen oplossing in formulevorm heeft en dat je alleen via een richtingsveld kwalitatieve informatie kunt vergaren en numerieke methoden moet gebruiken om oplossingen te benaderen.
Helaas!

kphart
20-1-2019


DV met variabele cofficinten

Goede avond,
Ik, ondervind toch veel problemen rond de DV's van de soort in de hoofding gemeld.bn .Vorm DV y"+Ry'+Sy=F
y"-(1/t)y'+(1/t2)y=t
Voor de eerste oplossing neem ik :
R+St=0 als -1/t+1/t2*t= -1/t+1/t=0
De eerste oplossing is dan y(1)=t
De tweede oplssong moet steeds kunnen gevonden worden:
IK probeer :
y=tv
y'= v't+t'v= tv'+v want: t'=dt/dt
y'=v't+v (1)
y"= v"t+t'v+v'= t'=1 =dt/dt!!)
y"=v"t+2v' (2)
(1) en (2) invoeren in de gegeven DV leidt tot:
(v"t+2v')-(1/t)(v't+v)+1/t2(tv)=0 2 de lid nul voor oplossing homogenen vergelijking
Uitwerking en schrapping:
v"t+2v'-v'-v/y+v/t=0
en
v"t+v'=0 (3)
Stel u=v' (4) dan is
u't+u=0 en Integraal d(ut) =0
of tu=C
u=C(1)/t en u=v'=C(1)/t en v= C(1)Integr dt/t
v= C(1)(ln(t)+D)
en y=tv= t(C(1)lnt+D)=
y=C(1)tlnt +Dt (5)
STelsel : y(p) particulier oplssing
y((p)=v(1)t+v(2)tlnt (6)
y'(p)= v(1)t'+v(2)ln(t)+v(2)t(1/t)+v'(2)tln(t)+v'(1)t=0
De twee laatste termen vallen weg omdat er al t en tln(t) in voorkomt als oplossing.
y"(p)=v'(1)+v'(2)+v'(2)ln(t)+v(2)(1/t)
Invullen in de DV
(v'1)+v'(2)ln(t)+v(2)/t)-1/t((v(1)+v(2)+v(2)ln(t))+1/t2(v(1)y+v(2)tln(t)=t
Uitwerken en schrappen geeft
v'(1)+v'(2)+v'(2)ln(t)=t (7)
Terug naar stelsel
tv'(1)+v'(2)(tln(t))=0 ((8)
tv'(1)+tv'(2)+v'(2)tlnt=t2 (9)x (t) vermenigvuldigd
Trekken we (9)af van (8) komt er ,dan vinden we na schrapping:
tv'(2)=t2
v'(2)=t (10)
v(2)=INT tdt= t2/2 +C(1)
y=tv=t(t2+c)
y= (t^3)/2+C(1)t (11))
tv'(1)+v'(2)(tln(t))=0 (10)in (8)
tv'(1)+t2ln(t)=
v'(1)+tln(t)=0 (:t)
v'(1)= -tlnt
v(1)= -INT((tln(t))dt))=-(t2ln(t)-t2/4+C(1)
y=tv=t(t2ln(t)-t2/4+C(2)
y=t^3ln(t)-t^3/4 +C(2)t
y=t^3(ln(t)-1/4)+c(2)t
Terug naar y(p)=v(1)t +v(2)(tln)(t))
y(p) = t((-t2ln(t)+t2/4 -C(2))+(tln(t))((t2/2+C(2))
y(p)=-t^3ln(t)+t^3/4 -C(2)t+t^3(ln(t)/2+C(2)t(ln(t))
De oplossing is na controle en Wolfraam juist bevonden.
Ze luidt=y=C(1)t+C(2)(tln(t))+t^3/4 Maar deze laatste term is in mijn laatste regel ook zichtbaar
Dit soort DV's is voor zelfstudie toch erg lastig maar ik blijf toch doorgaan met moeite te doen..
Wat is er fout.??
Groetjes en wat kan anders of beter als oplossing?
Rik

Rik Le
27-1-2019

Antwoord

Printen
Naast hier en daar wat constanten die af en toe van naam veranderen zie ik maar n echt foutje
$$
v_1(t)=\int{-}t\ln t\,\mathrm{d}t=-\frac12t^2\ln t+\frac14t^2
$$
die factor $\frac12$ heb je niet; als je die correctie toepast is je $y_p$ verder goed.

kphart
28-1-2019


DV en passende substitutie ?

Goede avond,
DV : (x2+y2)+(xy)y'=0
dy/dx+(x2+y2)/xy=0
dy/dx+(x/y)=-(y/x)
Ik tracht er een Bernouilli vergelijking van te maken.
delen door : y
1/y(dy/dx)+x/y2=-x.
Hoe moet het nu verder. Met Bernouilli is dit verder niet mogelijk, denk ik
,Heb ook al getracht met:
y=tx en kom een 'redelijke uitkomst uit maar geen vergelijking met resultaat WPLFRAM te vinden(zie onderaan)
dy/dx=tdx/dx+xdt/dt
(dy/dx)=tdx+t = -(x2+t2x2)/x2t=(-1-2t2)dt/t(wegdelen van x2 en vermenigvuldig met t in beide leden)
t2dx+t2=(-1-2t2-t2)dt/(t2+1)
dx=(-1-3t2)dt/(t2+1)
dx=(-3+4/(t2+1))dt
Na integreren :
x+C=-3t+4 bgtan(t)
x+C= -3(y/x)+4bgtan(y/x)
Wolfraam geeft
x+C=√((C(1)-x4)/(x√2)
Wat goede raad is welkom.
Groetjes

Rik Le
2-2-2019

Antwoord

Printen
De DV die je krijgt,
$$
\frac{dy}{dx}=-\frac{x^2+y^2}{xy}
$$
is homogeen. Die kun je oplossen door $y(x)=x\cdot v(x)$ te substitueren.
Na wat werk komt er
$$
\frac{v}{1+2v^2}\frac{dv}{dx}=-\frac1x
$$
een DV met gescheiden variabelen.
Die leidt uiteindelijk naar het antwoord van Wolfram.

kphart
3-2-2019


Differentiaalvergelijking en matrix?

Goede dag,
Ik zie een oefening staan in een cursus die luidt als volgt:
Zoek de algemene oplossing van het stelsel van differentiaalvergelijkingen en schets het fasevlak
         (3   2)
dy/dx= ( )*x
(2 -2)
(*=matrixvorm, onderstel ik.)

Daaraan kan ik gewoon niet beginnen. Enkele tips graag...
Met vriendelijke groeten,
Rik

Rik Le
5-2-2019

Antwoord

Printen
Ben je zeker dat de tweede x geen y is? Dan zou het eventueel zo kunnen zijn dat y een vector voorstelt waarvan de componenten gezochte functies zijn. Dan is dit een homogene vergelijking. De opgave zoals ze hier staat is redelijk onzinnig: de x links is een veranderlijke waarnaar afgeleid wordt, de x rechts is een (functie)vector van dimensie twee.

js2
6-2-2019


Primitieve van differentiaalvergelijking

Hallo,

Ik ben bezig met oefenen voor een toelatingsexamen. Ik loop vast bij het oplossen en opstellen van de primitieve van de volgende vergelijking:
dk/dt+k = 3

Ik heb eerst alles maal dt gedaan en dit verder uitgewerkt$\to$
dk = (3-k)dt
dk/3-k = dt

Deze functie heb ik toen geprimitieveerd en ben op het volgende uitgekomen het staat niet helemaal correct genoteerd maar ik heb de optie voor het intergraalteken niet op de pc.

kln(3-k)= t + c
Hierna heb ik alles tot de macht e gedaan.
ekeln(3-k)= et + ec
ek (3-k)= et + ec

Hierna loop ik vast ik weet niet hoe ik tot k(t) = ... kom.
Het antwoord zou moeten zijn:
k(t)=3 - ce-2

Alvast bedankt voor de hulp!

Laura
15-2-2019

Antwoord

Printen
Dag Laura

Je maakt een fout bij het primitiveren: \[\int \dfrac{dk}{3-k}=-\ln|3-k|+c\]
Kun je zo verder?

js2
15-2-2019


Differentiaalvergelijking en mengprobleem

Goede middag,
Een lokaal met een inhoud van 60 m3 is aanvankelijk vrij van koolstofmonoxide ((x(t) symbool)). Op ogenblik t=0 wordt er sigarettenrook met 4 % koolstofmonoxyde ingebracht in dit lokaal in verhouding tot 0,005 m3/minuut. .De goed circulerende lucht wordt in dezelfde verhouding afgevoerd.

Vragen:
a) bepaal de concentratie x(t) van koolstofmonoxyde in het lokaal
b) Langdurige blootstelling aan een koostofmonoxyde -concentratie van 0,00012 is reeds schadelijk voor het menselijk, lichaam.. Zoek de tijd waarop deze concentratie wordt bereikt

Ik heb dus een probleem met het opstellen van de DV waarvan de gegevens hierboven zijn aangereikt. Als ik dze kan bekomen ,dan zal ikzelf wel vraag a) en b) kunnen oplossen, denk ik.
Groetjes en dank U voor de eventuele hulp, als iemand daar wat tijd voor kan maken.

Rik Le
7-3-2019

Antwoord

Printen
Hallo Rik,

Als ik de gegevens goed begrijp, wordt vanaf t=0 per minuut 0,005 m3 sigarettenrook ingebracht, hiervan is 4% koolstofmonoxyde. De hoeveelheid ingebrachte koolmonoxide is dan 0,040,005=0,0002 m3/minuut. Dit verdeelt zich over een volume van 60 m3.
Wanneer de koolmonoxide niet zou kunnen ontsnappen, dan stijgt de concentratie koolmonoxide (x) met 0,0002/60 = 10/310-6 per minuut. Ofwel:

dx/dt=10/310-6

Met t in minuten en x in m3 koolstofmonoxide per m3 lucht.

Aan de afvoerzijde geldt: per minuut wordt 0,005 m3 gasmengsel afgevoerd. Wanner de concentratie koolstofmonoxide x is, dan wordt per minuut 0,005x m3 koolstofmonoxide afgevoerd. Dit wordt onttrokken aan 60 m3 gasmengsel. Zonder aanvoer van koolstofmonoxide zou dus gelden:

dx/dt=-0,005/60x m3

ofwel:

dx/dt=-25/3x10-5 m3

Aanvoer en afvoer samen levert dan de DV op:

dx/dt = 10/310-6 - 25/310-5x

met t in minuten en x in m3 koolstofmonoxide per m3 lucht.

GHvD
7-3-2019


Re: Differentiaalvergelijking en mengprobleem

Goede middag GIlbert,
Ik heb dus een DV van de 1 st orde en tweede lid constan maar niet NUL
Vraag a) is de DV oplossen.
Ik bereken x(h) voor de homogenen vergelijkibng 2 de lid =0 en bekom dan
dx/dt -0.00000833x
dx/x=-0.00000833t
ln(x)= -0.00000833t
x(h)= C(1)e^-0.00000833t
Particulier oplossinbg x(p= b/a= 0.3976 met b= 0.00000333 en a=0.00000833
Oplossing :
x(t)= C e^(-0.00000833)t+0.3996.
IK werk met een zelfgekozen randvoorwaarde x(0)= 1 de constante C=1 weg
x(t) =e^^-0.00000833t+0,3976
Vraag b)
0.00012= e^-0.00000833t+0.3976
0.00012-0.3976=e^-0.00000833t
-0.39748=e^-0.00000833t
-0.00000833t= -ln(0.39748)
-0.00000833t=-0.922610661
t = 1,00000833 minuut.
Klopt dit eigenlijk wel deze laatste berekening??
Vraag A) zou moeten juist zijn...
Groetjesen nog graag een reactie.
Rik

Rik Le
8-3-2019

Antwoord

Printen
Hallo Rik,

Ik zie in ieder geval een rekenfout:
25/310-5 = 0,0000833. Jij hebt een nul te veel.

De oplossing van de homogene vergelijking wordt dan:

x(h)= C(1)e^-0.0000833t

De particuliere oplossing (met niet-afgeronde getallen) wordt dan x=0,04 in plaats van jouw x=0,4.

De oplossing van de DV wordt dan:

x(t)= Ce-0.0000833t+0.04

Verder mag je niet zomaar als randvoorwaarde x(0)=1 kiezen. Op t=0 is de ruimte vrij van koolmonoxyde, dus x(0)=0. Om C te vinden, lossen we op:

Ce0+0.04 = 0
C+0.04 = 0
C = -0.04

Nu kennen we de oplossing helemaal:

x(t)= 0.04e-0.0000833t+0.04
ofwel:
x(t)= 0.04(1-e-0.0000833t)

Voor vraag B) moeten we oplossen:
x(t) = 0.00012
0.04(1-e-0.0000833t) = 0.00012
1-e-0.0000833t = 0.003
e-0.0000833t = 0.997
-0.0000833t = ln(0.997)
t = ln(0.997)/-0.0000833
t $\approx$ 36

Na ongeveer 36 minuten bereikt de concentratie de schadelijke waarde.

GHvD
8-3-2019



klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2019 WisFaq - versie IIb