De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  prikbord |  gastenboek |  wie is wie? |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ's
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

Bewijzen

Raaklijn

Op een hyperbool A nemen we een willekeurig punt D. De raaklijn in D aan H snijdt de asymptoten in E en E2. Bewijs dat D het midden is van EE2. Beste kan u aub mij helpen met deze vraag oplossen.

Ayesha
29-4-2021

Antwoord

Printen
We gaan uit van een hyperbool $\eqalign{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$.
De asymptoten zijn $\eqalign{y=\pm\frac{b}{a}x}$.
Laten we $D(p,q)$ als co÷rdinaten nemen.

De raaklijn aan $D$ is $\eqalign{\frac{px}{a^2}-\frac{qy}{b^2}=1}$, ofwel
$$b^2px-a^2qy=a^2b^2. \,\, [1]$$Substitueren we $y=\frac{b}{a}x$ in [1] dan geeft dat
$$b^2px-a^2q\frac{b}{a}x=a^2b^2$$dus
$$b^2px-abqx=a^2b^2$$$$(bp-aq)x=a^2b$$$$x=\frac{a^2b}{bp-aq}.$$De $x-$co÷rdinaat van het snijpunt met de asymptoot $y=-\frac{b}{a}x$ gaat op dezelfde manier en wordt
$$x=\frac{a^2b}{bp+aq}.$$Het gemiddelde van deze twee $x-$co÷rdinaten is .... $p$! En we hebben het gevraagde bewijs. Het rekenwerk voor de laatste stap laat ik aan jou over. Mocht je daarbij nog hulp nodig hebben, dan hoor ik het graag.

Met vriendelijke groet,

FvL
30-4-2021


Re: De lengte van de paden

Beste,

Hoe toon ik aan dat de totale lengte van de paden AE en BE, afgerond op meters, in deze situatie 515 meter is?

steyn
30-4-2021

Antwoord

Printen
Ik weet niet wat hier precies de 'situatie' is, maar als je 't hebt over de minimale afstand dan zou je kunnen kijken naar de afgeleide van $L$, maar dan kom ik uit op 500 meter. Hoe kom je aan 515 meter?

WvR
30-4-2021


Re: Re: De lengte van de paden

Dat stond in de vraag.

'De wijkraad wil dat het punt E voor de bushalte zo gekozen wordt, dat de paden AE en BE even lang zijn.'

Dit stond nog wel voor de vraag.

steyn
30-4-2021

Antwoord

Printen
Dat is ook leuk, maar dat is dan informatie achteraf want hier stond daar niets over...

Als AE en BE evenlang zijn dan geldt:

$
\eqalign{
& \sqrt {x^2 + 1} = \sqrt {x^2 - 8x + 20} \cr
& x^2 + 1 = x^2 - 8x + 20 \cr
& 1 = - 8x + 20 \cr
& 8x = 19 \cr
& x = 2\frac{3}
{8} \cr
& L = 1\frac{1}
{4}\sqrt {17} \approx 5,15\,\,hm \cr}
$

Dus zo doe je dat...

WvR
30-4-2021


Re: Re: Re: De lengte van de paden

Ik heb nog een vraag: Ze vragen nu dat iemand beweert dat de waarde van L minimaal is als AE en EB even lang zijn.
  • Hoe onderzoek ik of hij gelijk heeft?

steyn
30-4-2021

Antwoord

Printen
Je kunt (op eenvoudige wijze) vaststellen dat de minimale afstand L gelijk is aan 500 meter.

q92103img1.gif

Het ziet er naar uit dat BE twee keer zo lang is als EA.

WvR
30-4-2021


Sinx

Hoe kan ik tonen dat integraal(a,-a) sin(x)dx=0 en algemene en bewijzen dat f oneven is met integraal (a,-a)f(x)dx=0
Zal u aub mij helpen.

A.B
2-6-2021

Antwoord

Printen
Een primitieve van $\sin x$ is $-\cos x$; wat krijg je als je die gebruikt om de integraal uit te rekenen?

En als $F$ een primitieve van je oneven functie $f$ is dan is $F$ een even functie: reken $\frac{d}{dx}F(-x)$ maar uit (denk aan de kettingregel).

kphart
2-6-2021


Re: Sinx

Beste
ik heb ze niet begrepen zal u met stappen uitleggen
want bij eerste heb ik -cosa+cosa=0
bij 2 heb ik a2=0 of a=0

Fatima
11-6-2021

Antwoord

Printen
De eerste is prima.

Voor de tweede: de afgeleide van $F(-x)$ is $F'(-x)\cdot-1 = f(-x)\cdot-1=f(x)$ omdat $f$ oneven is, dus $F(-x)$ is ook een primitieve van $f$.
Maar dan volgt $F(-x)=F(x)$ want: $F(x)-F(-x)$ is constant en omdat $F(0)=F(-0)$ is dat verschil constant $0$.

Conclusie $F$ is even en $\int_a^{-a}f(x)\,dx=F(-a)-F(a)=0$.

kphart
11-6-2021


klein |  normaal |  groot

home |  vandaag |  bijzonder |  twitter |  gastenboek |  wie is wie? |  colofon

©2001-2021 WisFaq - versie 3