WisFaq!

Het is eigenlijk vrij eenvoudig:
$=$ gebruik je bij "is gelijk aan", dus wel $2=2$ maar niet $1=2$
$\le$ betekent "kleiner dan of gelijk aan", dus $2\le2$ is goed, $1\le2$ ook, maar $2 \le 1$ is fout
$ >$ betekent "groter dan", dus wel $2 > 1$, maar niet $1 > 1$ en ook niet $1 > 2$.

kphart
1-2-2023

Re: Verschil tussen 2 symbolen

Beste, dit was eigenlijk mijn vraag niet, maar blijkbaar zijn de tekens niet goed leesbaar- ik "vertaal" in woorden:

Wanneer mag men enkel "is gelijk aan" en wanneer "als en slechts als" (dus dhet = teken met links en rechts een pijlpunt gebruiken.
Sorry voor de verwarring. Kan u me hiervan een antwoord bezorgen? Met dank!
Linda
2-2-2023

Antwoord

Dat is inderdaad een geheel andere vraag.
Maar ook hier zou het uitschrijven al veel moeten helpen.
$=$ betekent "is gelijk aan" en staat dus tussen individuen die gelijk aan elkaar zijn, of uitdrukkingen die (exact) dezelfde waarde hebben: $1=1$ of $3^3=27$ of $2+2=4$
$\Leftrightarrow$ betekent "dan en slechts dan" (of "als en slechts als", of "is equivalent met") en staat tussen beweringen of uitspraken.
Een voorbeeld: iedereen kent de stelling van Pythagoras: als in een driehoek met zijden $a$, $b$, en $c$ de zijden $a$ en $b$ loodrecht op elkaar staan dan geldt $a^2+b^2=c^2$.
Wat niet iedereen zich realiseert, maar wat wel waar is, is dat het omgekeerde ook geldt: als $a^2+b^2=c^2$ dan staan $a$ en $b$ loodrecht op elkaar. Zie bijvoorbeeld dit artikel in het blad Pythagoras.
We kunnen dus schrijven: in een driehoek met zijden $a$, $b$, en $c$ geldt:
$$(a^2+b^2=c^2) \Leftrightarrow (a\perp b)
$$waarbij ik voor de duidelijkheid even haakjes om de uitspraken gezet heb.

kphart
2-2-2023

Re: Re: Verschil tussen 2 symbolen

Met dank voor uw antwoord. Maar dan stel ik me de vraag: mag ik bv. de volgende bewering zowel met het is gelijk teken als met het als en slechts als teken zetten?(Ik schrijf het maar voluit in woorden)
(sin alfa + cos alfa)^2 = sin^2 alfa + 2 sin alfa maal cos alfa + cos ^2 alfa , maar ook hetzelfde maar met een "als en slechts als " teken tussen?

Linda
2-2-2023

Antwoord

Nee, want $(\sin\alpha+\cos\alpha)^2$ en $\sin^2\alpha+2\sin\alpha\,\cos\alpha+\cos^2\alpha$ zijn geen beweringen. Links en rechts van $\Leftrightarrow$ moeten in feite volledige zinnen staan en dat zijn die formules niet.
kphart
2-2-2023

Re: Oefening op matrices en stelsels

Als ik dat oplos krijg ik j=6 en s=12 en t=18. Zou dit kloppen?
Lisa P
29-4-2023

Antwoord

j = 6 , s = 12 , t = 18

Je kunt je antwoorden controleren door de tabel in te vullen en na te gaan of aan alle voorwaarden voldaan is. Dat moet kunnen….

TIP
Het is handiger om bij de titel een korte titel te geven en de vraag zelf in te tikken in het tekstvak. Bovendien kan je ook op vragen reageren. Dat is ook heel handig.
Oefening op matrices en stelsels

WvR
29-4-2023

Oriëntatie rand van variëteit

Beste

Enkele definities:
1)Stel X bevat in een zekere Euclidische ruimte, dan is X een k-dim. variëteit als voor elke x in X bestaat er een omgeving V van x in X en f:U- $>$ V een diffeomorfisme met U open in R^k.

2)X noemen we een oriënterbare variëiteit als voor elke x in X een locale parametrisatie f:U- $>$ X met U open in R^k zodat df_u:R^k- $>$ T_x(X) de oriëntatie tussen de vectorruimtes behoudt voor elke u in U. Waarbij de oriëntatie op R^k de standaard oriëntatie is.

Mijn vraag: Nu wil ik de rand van een oriënteerbare variëteit X oriënteren. Ik dacht om de inclusie i:T_x(rand(X))- $>$ T_x(X) te beschouwen en rand(X) oriënteerbaar te noemen indien de samenstelling van (df_u)^-1oi:T_x(rand(X))- $>$ R^k de oriëntatie van de vectorruimtes behoudt. Klopt deze aanpak? Ik zie wel niet in of deze aanpak onafhankelijk is van keuze van parametrisatie.
Rafik
30-4-2023

Antwoord

Deel 2) van je definitie is onvolledig: er staat niet bij wat de oriëntatie van de $T_x(X)$ is, die moet je al hebben voor je over behouden van oriëntatie kunt spreken. Ook staat er in je definitie geen opmerking over de relatie tussen die locale parametriseringen.
Merk op dat een lokale parametrisering een oriëntatie van de $T_x(X)$ voor $x\in V$ bepaalt door te zeggen dat het beeld van de standaardbasis in $\mathbb{R}^k$ positief is. Een variëteit is oriënteerbaar als je de parametriseringen zo kunt nemen dat: als $f_1:U_1\to V_1$ en $f_2:U_2\to V_2$ zo zijn dat $V_1\cap V_2\neq\emptyset$ dan geven $f_1$ en $f_2$ dezelfde oriëntatie aan $T_x(X)$ als $x\in V_1\cap V_2$. Dat kun je in termen van de afgeleiden formuleren als: als $f_1(u_1)=x=f_2(u_2)$ dan is de determinant van $(df_2(u_2))^{-1}(df_1(u_1))$ positief.

In je vraag: je kunt nu niet de rand oriënteerbaar gaan noemen als een gegeven familie parametriseringen iets doet; je kunt nu alleen nog controleren of de rand oriënteerbaar is en of dat met behulp van de gegeven parametriseringen kan. Wat je doet is naar de parametriseringen uit je familie die een randpunt meenemen. Je hebt $x\in\partial X$ en $f:U\to V$, waarbij $U$ nu een stukje half-ruimte is, dat wil zeggen een deel van $H=\{x\in\mathbb{R}^k:x_k\ge0\}$. Dan levert $x\mapsto (x,0)\mapsto f(x,0)$ een parametrisering van $V\cap\partial X$. De zoverkregen parametriseringen moeten aan de eisen voldoen.

Overigens zou dit soort zaken netjes in je boek (of op college) uitgelegd moeten worden.
kphart
2-5-2023

Exponentiele formules snijpunt

Gegeven zijn de formules b = 2 · 1,5t en b = 8 · 0,75t.

De (t)'s staan als exponent boven de getallen 1,5 en 0,75 maar voor een gekke reden kan ik dat niet invullen, hoe los ik dit op?
Kumeil
2-5-2023

Antwoord

Je hebt dus $b=2\cdot(\frac32)^t$ en $b=8\cdot(\frac34)^t$.
Ik zou het helemaal uitschrijven:
$$2\cdot\frac{3^t}{2^t}=8\cdot\frac{3^t}{4^t}
$$deel links en rechts door $3^t$ en vermenigvuldig met $4^t$:
$$2\cdot 2^t=8$$Nu kun je $t$ bepalen.
kphart
2-5-2023

Exponentiele formules snijpunt

Gegeven zijn de formules b = 2 · 1,5t en b = 8 · 0,75t.

De (t)'s staan als exponent boven de getallen 1,5 en 0,75 maar voor een gekke reden kan ik dat niet invullen, hoe los ik dit op?

Het werd me al uitgelegd maar ik vond het een beetje vaag.
Kumeil
2-5-2023

Antwoord

Als je 't stap voor stap uitschrijft staat er, volgens mij, op exponentiele formules snijpunt de volgende uitwerking:

$
\eqalign{
& 2 \cdot 1,5^t = 8 \cdot 0,75^t \cr
& 2 \cdot \left( {\frac{3}
{2}} \right)^t = 8 \cdot \left( {\frac{3}
{4}} \right)^t \cr
& 2 \cdot \frac{{3^t }}
{{2^t }} = 8 \cdot \frac{{3^t }}
{{4^t }} \cr
& 2 \cdot \frac{1}
{{2^t }} = 8 \cdot \frac{1}
{{4^t }} \cr
& 2 \cdot \frac{1}
{{2^t }} \cdot 4^t = 8 \cdot \frac{1}
{{4^t }} \cdot 4^t \cr
& 2 \cdot 2^t = 8 \cr
& 2^t = 4 \cr
& t = 2 \cr}
$

Welke stap of stappen zijn er niet duidelijk? Lukt het dan?
WvR
2-5-2023

Re: Oriëntatie rand van variëteit

Dus als ik uw uitleg goed begrijp, dan induceert de oriënteerbare variëteit X een oriëntatie op rand(X) op deze manier: Zij X oriënteerbar, dan bestaat er een familie van parametrisaties genoteerd als (U_a,f_a) zodat als f_a:U_a- $>$ V_a en f_b:U_b- $>$ V_b dan is de determinant van df_a(df_b) $>$ 0. Nu is(W_a=U_a $\cap $ rand(X),g_a=f_a|rand(X) $\cap $ U_a) wat we willen voor de rand(X). Nu zie ik niet hoe df_a(df_b) $>$ 0 impliceert dat dg_a(dg_b) $>$ 0?
Rafik
3-5-2023

Antwoord

Je orienteert eerst het inwendige en breid de parametriseringen uit tot de rand; je kun dat doen zo dat $\{x:x_k=0\}$ naar de rand gaat en de $k$-de eenheidsvector naar binnen wijst.
Dan kun je beperken tot $\mathbb{R}^{k-1}$ en zien dat je met een $k-1$ bij $k-1$ determinant te maken hebt.

Zie ook hier, en verdere referenties.
kphart
8-5-2023

Herleiden formule

Dag, zou u de derde stap van wisa vwo 2022-II willen uitleggen? Ik snap niet waarom er 2 • 6371 wordt gedaan.
A
9-7-2023

Antwoord

Dit is niet helemaal duidelijk. Ik heb op examenblad gekeken bij het tweede examen van 2022 maar ik heb het getal 6371 niet gezien.
Geef in ieder geval het nummer van de som, alleen "de derde stap" helpt niet.
kphart
10-7-2023

Lineaire algebra

Beste,
Ik had een vraag over het gesloten Leontief-model. Het is immers een kenmerk dat de som van de elementen in het model gelijk is aan 1. Mogen we daaruit besluiten dat dit ook geldt voor de som van de elementen van elke rij? En is dit een 'voldoende voorwaarde' om te kunnen spreken over een gesloten Leontief-model? Alvast bedankt.
Lineaire algebra

Studen
4-8-2023

Antwoord

Nee je kunt niet concluderen dat de rijsommen ook gelijk aan $1$ zijn:
$$\begin{pmatrix} \frac13 & \frac14\\ \frac23 & \frac34\end{pmatrix}
$$is een Leontief-matrix.

Naast de eis dat de getallen niet negatief zijn wil men in een Leontiefmodel ook dat de matrix $A$ zó is dat voor elke vector $x$ de coördinaten van $Ax$ en die van $x$ dezelfde som hebben; en dat gebeurt als alle kolomsommen gelijk aan $1$ zijn. Er zijn daarvoor geen eisen op de rijsommen nodig.
kphart
7-8-2023

Ik vind het contradictorisch

We moeten voor een vraag oplossen voor school: Zij a,b element van Reële getallen exclusief nul met a $\ne $ b, Als a/b = b/a dan is a³ + b³ gelijk aan:

(A) 0 (B) 1 (C) a-b (D) 2a³ (E) 2b³

Omdat a/b = b/a een gelijkheid is dan kun je zeggen dat a²=b² maar in de vraag staat er dat a $\ne $ b dus hoe kan dit? alvast bedankt
Tibo B
3-9-2023

Antwoord

Er geldt:

$
\eqalign{
& \frac{a}
{b} = \frac{b}
{a} \wedge a \ne b \cr
& a^2 = b^2 \Rightarrow b = - a \cr
& a^3 + b^3 = a^3 + ( - a)^3 = 0 \cr}
$

Ik zou gaan voor antwoord A. Toch?
WvR
3-9-2023