Chinese reststelling

(Z/17Z)* = (Z/16Z,+) = Z/2Z * Z/2Z * Z/2Z * Z/2Z

Hoe bepaal ik hiermee aantal elementen van orde 8?

Gr, Jan

Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - donderdag 26 december 2024

Antwoord

Dat gaat zo niet lukken, omdat het tweede $=$-teken niet geldt.
De groep $(\mathbb{Z}/16\mathbb{Z},+)$ is cyklisch van orde $16$, en $1$ is een element van orde $16$, maar $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ is niet cyklisch want elk element heeft orde $2$.

De elementen van $\mathbb{Z}/16\mathbb{Z}$ van orde $16$, de voortbrengers dus, zijn de elementen $k$ met $\mathrm{ggd}(k,16)=1$. Als je al die voortbrengers met $2$ vermenigvuldigt krijg je alle elementen van orde $8$.

kphart
donderdag 26 december 2024

©2004-2025 WisFaq