Re: Sin(oneindig)

Dit is een reactie op vraag 70747

Beste,
Ik denk dat er het volgende bedoeld werd:

We krijgen een integraal van - $\infty $ tot + $\infty $ van een functie met sinussen en cosinussen. Als we die willen oplossen, hoe doen we dat dan het best.
Neem bijvoorbeeld als voorbeeld: $\smallint $ cos² (3x) dx.
Je kan die volledig uitwerken met de formules van simpson, maar dan moet je die grenzen invullen, wat naar mijn inziens niet gaat bij een sinus of cosinus.

Student universiteit België - vrijdag 21 juni 2024

Antwoord

Dat kan niet bedoeld worden want zo is de definitie van $\int_{-\infty}^\infty$ niet geformuleerd. Laten we jouw voorbeeld nemen
$$
\int_{-\infty}^\infty \cos^23x\,\mathrm{d}x
$$
is als volgt gedefinieerd:
$$
\lim_{M\to-\infty}\int_M^0 \cos^23x\,\mathrm{d}x +
\lim_{N\to\infty}\int_0^N \cos^23x\,\mathrm{d}x
$$
mits beide limieten bestaan (je vult de grenzen niet in).
Kijk naar de tweede
$$
\int_0^N \cos^23x\,\mathrm{d}x = \int_0^N \frac12+\frac12\cos 6x\,\mathrm{d}x
=\left[\frac12x+\frac1{12}\sin6x\right]_0^N=\frac12N+\frac1{12}\sin6N
$$
Blader nu terug in je boek om de definitie van
$$
\lim_{N\to\infty}\frac12N+\frac1{12}\sin6N = L
$$
op te zoeken en je zult zien dat er geen $L$ is waarvoor dit geldt: de grafiek van $\frac12x+\frac1{12}\sin6x$ heeft geen horizontale asymptoot.

NB Wat we nooit doen is $-\infty$ of $\infty$ invullen.

kphart
dinsdag 25 juni 2024

©2004-2024 WisFaq