Kwadratische vorm

Gegeven is de volgende kwadratische vorm:

$q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2+x_3^2+x_4^2+2x_2x_3$.

(a) Is deze kwadratische vorm positief (semi-)definiet, negatief (semi-)definiet of indefiniet? Leg kort uit.
(b) Zoek alle vectoren w⃗ waarvoor q(w⃗) = 0. Leg uit waarom je ze allemaal hebt gevonden.
kan iemand me helpen met dze vraag op te lossen? ik weet niet waar te beginnen

Student universiteit België - zondag 14 januari 2024

Antwoord

Het gaat om deze:
$$q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2+x_3^2+x_4^2+2x_2x_3
$$a) door de losse $x_2$ kun je $q(0,1,0,0)=1$ en $q(0,-1,0,0)=-1$ krijgen; de vorm is dus indefiniet (lees de definitie, en probeer eens wat punten in te vullen).
b) Je kunt kwadraat afsplitsen:
$$q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2+x_3^2+x_4^2+2x_2x_3 = x_1^2+x_4^2+(x_3+x_2)^2-(x_2-\tfrac12)^2+\frac14
$$Dat geeft $q(x_1,x_2,x_3,x_4)=0$, een soort van tweebladige hyperboloïde in de vierdimensionale ruimte.

Of heb je een tikfout gemaakt en gaat het om deze:
$$q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2x_2x_3
$$Daar staat $q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+(x_2+x_3)^2+x_4^2$. Dat is een som van kwadraten en als je je definities goed leest kom je er zelf wel uit.

kphart
zondag 14 januari 2024

©2004-2024 WisFaq