Bewijs dat de limiet van x/(x-1) voor (x$\to$+oneindig) = 1
Definitie : Voor iedere e $>$ 0 bestaat er een m $>$ 0 zodat als x $>$ m er geldt dat |x/(x-1)-1| $<$ e
Zij e $>$ 0
We werken eerst |x/(x-1)-1| wat verder uit
|x/(x-1)-1| = |x-(x-1)/(x-1)| = |1/(x-1)|
We beperken ons vervolgens tot x-en groter dan 1
zodat x-1 $>$ 0 en dus |1/(x-1)| = 1/(x-1)
Vervolgens bepalen we een geschikte m door de ongelijkheid 1/(x-1) $<$ e te herleiden als volgt
(x-1) $>$ 1/e
x $>$ 1+1/e
Kies dan m = 1+1/e = (e+1)/e
Door m = (e+1)/e te nemen
geldt er voor x $>$ m dat |x/(x-1)-1| $<$ e
Is deze afleiding correct en correct geformuleerd ? Bestaat er hier ook een efficiëntere afleiding voor ?
Met dank !
Rudi
Ouder - zondag 5 september 2021
