Bepaling limiet via definitie

Bewijs volgende limieten van functies met behulp van de gepaste definities

1) lim (x²/(x+1)) voor (x$\to$+oneindig) = +oneindig

Definitie : Voor elke M $\ge$ 0 bestaat er een m $\ge$ 0
zodat voor elke x $>$ m geldt dat f(x) $>$ M

f(x) $>$ M $\Rightarrow$ x²/(x+1) $>$ M
x² $>$ M(x+1) (x+1 $>$ 0)
x²-Mx-M $>$ 0 (kwadratische vergelijking)
Discriminant D = (-M).(-M) - 4.1.(-M) $\ge$ 0
x+ = (M + √(M² + 4M))/2 $\ge$ 0
x- = (M - √(M² + 4M))/2 $\le$ 0
Aangezien x $>$ m $\ge$ 0
kies m $\ge$ x+
$\Rightarrow$ m $\ge$ (M + √(M² + 4M))/2 $\ge$ 0
zodat f(x) = x²/(x+1) $>$ M

2) lim (x²/(x+1)) voor (x$\to$-oneindig) = -oneindig

Definitie : Voor elke M $\le$ 0 bestaat er een m $\le$ 0
zodat voor elke x $<$ m geldt dat f(x) $<$ M

Uit x $<$ m $\Rightarrow$ x+1 $<$ m+1
Stel m $\le$ -1 $\Rightarrow$ m+1 $\le$ 0 $\Rightarrow$ x+1 $<$ 0
Daar x $<$ x+1 $\Rightarrow$ 1/(x+1) $<$ 1/x (x+1 $<$ 0 en x $<$ 0)
f(x) = x²/(x+1) $<$ x²/x = x $<$ m $<$ M
Aangezien m $\le$ -1 en m $<$ M
kies m $\le$ M-1
zodat f(x) = x²/(x+1) $<$ M

Kloppen beide gebruikte redeneringen als bewijs ?

Met dank !

Rudi
Ouder - woensdag 1 september 2021

Antwoord

De rekenstappen kloppen wel maar het geheel is nogal slecht opgeschreven. Een rij formules met hier en daar een los woord is geen goede uitleg. Aan het eind is "Aangezien $x > m\ge0$" misplaatst want $m$ is nog niet bepaald en niemand heeft gezegd dat $x$ groter dan die niet gegeven $m$ moet zijn. En dan wordt $m$ pas gespecificeerd nadat hij al gebruikt is.

Het eerste deel moet beginnen met: laat $M > 0$.
Verder zou ik opschrijven wat gebeurt: we lossen de ongelijkheid $f(x) > M$ op.
We beperken ons tot positieve $x$-en en werken $f(x) > M$ om tot $x^2 > M(x+1)$.
Om een geschikte $m$ te bepalen lossen we de vergelijking $x^2-Mx-M=0$ op. De oplossingen zijn $\frac12M\pm\frac12\sqrt{M^2+4M}$. Als we $m=\frac12M+\frac12\sqrt{M^2+4M}$ nemen dan geldt voor $x > m$ dat $x^2-Mx-M > 0$ en dus $f(x) > M$.

Het tweede deel is nog slechter: wat zijn $x$ en $m$ in de eerste regels? En wat betekent $\Rightarrow$ daar? Een pijl is geen vervanging voor goedgekozen woorden. Hoezo geldt $m < M$ in regel vijf? Waar komt $M$ vandaan? En niemand heeft gezegd dat $m\le-1$ is, dus dat "Aangezien" is ook hier misplaatst. En dan wordt $m$ pas gekozen?

Ook hier beginnen met: laat $M < 0$ gegeven zijn. En dan:
We bepalen een geschikte $m$.
We beperken ons tot $x$-en kleiner dan $-1$; voor die $x$-en geldt $x+1 < 0$
en dus $\frac1x > \frac1{x+1}$, en omdat $x^2 > 0$ volgt dus $\frac{x^2}{x+1}<\frac{x^2}x=x$.
Neem nu $m=M-1$ dan geldt voor $x < m$ dat $f(x) < x < M$.

kphart
woensdag 1 september 2021

©2001-2024 WisFaq