\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Olympiadeopdracht

Hi allemaal, zou iemand me alsjeblieft uit de brand kunnen helpen door deze opgave uit te werken? Ik heb namelijk geen idee hoe ik dit moet aanpakken.De opgave:

Laat ABC een driehoek met drie scherpe hoeken en een niet-gelijkbenige driehoek zijn, waarbij D een willekeurig punt op segment BC is. Neem E aan de kant AB en neem F aan de kant AC zodat ?DEB = ?DFC. De lijnen DF en DE snijden AB en AC respectievelijk in M en N.

Geef (I1) en (I2) aan als de omgeschreven cirkel van DEM en DFN. Laat (J1) de cirkel zijn die intern raakt aan (I1) bij D en ook raakt aan AB bij K en laat (J2) de cirkel zijn die intern raakt aan (I2) bij D en ook raakt aan AC bij H.

Geef P aan als het snijpunt van (I1) en (I2) dat verschilt van D en geef ook Q aan als het snijpunt van (J1) en (J2) dat verschilt van D.
  1. Bewijs dat de punten D, P en Q op één lijn liggen.
De omgeschreven cirkel van driehoek AEF snijdt de omgeschreven cirkel van driehoek AHK en snijdt de lijn AQ bij G en L (G en L verschillen van A).
  1. Bewijs dat de raaklijn aan D van de omgeschreven cirkel van driehoek DQG de lijn EF snijdt in een bepaald punt dat op de omgeschreven cirkel van driehoek DLG ligt.

Student universiteit - zaterdag 24 april 2021

Antwoord

Hallo Koray,

Ik ben wat terughoudend om antwoorden te geven die "olympiadeopdracht" heten en dus onderdeel van een wedstrijd lijken.

Laat me toch wat over vraag a. zeggen.

Merk op dat $\angle DEB=\angle DFC$ tot gevolg heeft dat EFMN een koordenvierhoek is. De macht van A ten opzichte van diens omgeschreven cirkel is $AE\cdot AM = AF \cdot AN$. Bijgevolg is de macht van A ten opzichte van $(I1)$ en $(I2)$ gelijk, en ligt A op hun machtlijn $DP$.

Bekijk nu de raaklijn aan $(I1)$ in $D$. Neem een punt $X$ op deze raaklijn, aan de andere kant van $BC$ dan $A$ ligt. Merk dan op dat $\angle MDX = \angle MED$ (omtrekshoeken van (I1)) en dat dus $DX$, de raaklijn, evenwijdig is aan $AC$ (F-hoeken). Iets dergelijks geldt uiteraard ook voor de raaklijn aan $(I2)$. Dat betekent dat de cirkel die raakt aan $AB$ in $K$ en ook raakt aan $AC$, deze laatste lijn raakt in $H$. Maar dat betekent dat $AK=AH$ (hier is nog wel wat redenering voor nodig die ik aan jou laat) en dat $A$ ten opzichte van $(J1)$ en $(J2)$ gelijk is, dus $A$ ligt op hun machtlijn $DQ$.

Ik heb me nog niet verdiept in b., maar misschien heb je nu voldoende uitgangspunten om zelf verder te gaan.

Met vriendelijke groet,


woensdag 28 april 2021

©2004-2021 WisFaq