\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Raaklijnen van een ellips uit een punt dat geen deel uit maakt van de ellips

Hallo ik heb een vraag bij de volgende oefening:
Uit het punt D(x1,y1) trekt men de raaklijnen t1, t2 aan de ellips E $
\leftrightarrow
$ x2/a2 + y2/b2 = 1

a Bewijs dat de richtingscoŽfficiŽnten van t1, t2 de oplossingen zijn van (a2-x12)m2 + 2x1y1m + b2 - y12 = 0 (x1 verschillend van + of -a)

Ik heb hiervoor de wortels van m berekend en kwam het volgende uit:
m = [-x1y1 + [(bx1)2 - (ab)2 + (ay1)2]$^{\frac{1}{2}}$] / [a2 - x12]
of m = [-x1y1 - [(bx1)2 - (ab)2 + (ay1)2]$^{\frac{1}{2}}$] / [a2 - x12]

Echter weet ik niet hoe ik moet bewijzen dat dit ook echt de richtingscoefficiŽnten zijn van de raaklijnen. Ik heb namelijk een vergelijking proberen oplossen met een willekeuring punt van de ellips, maar daar loop ik mee vast. Ik weet echt niet hoe ik dit kan bewijzen.

b Voor welke stand van D geldt dat t1 loodrecht staat op t2?
Dit heb ik opgelost door gebruik te maken van de wortels van m, het bleek een cirkel met middelpunt O en straal (a2 + b2)$^{\frac{1}{2}}$ te zijn.

Ik zit dus vast bij het bewijs in a. Zou iemand me hierbij willen helpen? Alvast bedankt!

3de graad ASO - woensdag 14 april 2021

Antwoord

NB er staat niet dat je de vergelijking op moet lossen, er staat dat je moet laten zien dat $m$ aan de vergelijking moet voldoen.

Doe het daarom net andersom: stel de vergelijking van een lijn door $D$ op, met richtingscoŽfficiŽnt $m$, en snijdt deze met de ellips. Bekijk dan wat moet gelden opdat er precies ťťn snijpunt is (het raakpunt). Dat geeft een vergelijkng waar $m$ aan moet voldoet, en dat zal precies de gegeven vergelijking zijn.

kphart
donderdag 15 april 2021

©2004-2021 WisFaq