\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Re: Peano

 Dit is een reactie op vraag 91303 
Hartelijk dank voor uw nuttige uitleg.

Wij dus niet op deze manier concluderen en bewijzen dat rekenkunde consistent is. Pas als ZF zelf consistent is. Heb ik goed geformuleerd?

Een ander punt: wat is eigenlijk hier de relatie PA, ZF met Gödel en consistentie?
Wat ik weet is dat veel diophanstische vergelijkingen niet bewijsbaar zijn binnen de PA systeem, ook niet binnen de natuurlijke getallen, mogelijk wel binnen ZF systeem denk. Is dat juist?

Dus als het systeem consistent is, dan is ie onvolledig.

De groeten van MI

Student hbo - woensdag 13 januari 2021

Antwoord

De betere conclusie is dat een consistentiebewijs voor PA een sterkere theorie moet gebruiken dan PA zelf, en ZF is daar een voorbeeld van. En alles staat of valt met de consistentie van die sterkere theorie natuurlijk.

De eerste onvolledigheidsstelling van Gödel zegt dat een consistente theorie met een recursieve axiomatisering en waarin elke recursieve functie beschrijfbaar is onvolledig is; de tweede stelling zegt dat zo'n theorie zijn eigen consistentie niet kan bewijzen. Zowel PA als ZF voldoen aan de voorwaarden van die stellingen.

Verder moet je wel leren beter te formuleren van "bewijsbare diophantische vergelijkingen" heb ik nog nooit gehoord. Heb je het hier over het tiende probleem van Hilbert, over het bestaan van een algoritme dat de oplosbaarheid van dergelijke vergelijkingen zou moeten vaststellen? Er is een `gewoon' bewijs (dus ook geldig binnen ZF) dat zo'n algoritme niet bestaat.

Je laatste zin klopt niet; er zijn theoriën, bijvoorbeeld die van de dichte lineaire ordeningen zonder maximum en minimum, die consistent en volledig zijn.

kphart
vrijdag 15 januari 2021

©2004-2021 WisFaq