Vraagstuk maximale oppervlakte berekenen

Best
Ik zit een beetje vast bij deze vraagstuk:

Een juwelier vervaardigt een rechthoekig kadertje waarvan twee overstaande zijden (lengte x ) gemaakt zijn van goud, en de anderetwee (lengte y ) van zilver.
De gouden staafjes kosten 100 €/cm, de zilveren staafjes kosten 75€/cm.

• Toon aan dat, als je over een budget beschikt van € 1500, de oppervlakte van het kadertje gegeven
  wordt door: S=-4/3x²+10x, met dus x de lengte van de gouden staafjes.
  
• Wat is de maximale oppervlakte die je je kan veroorloven? Bij welke afmetingen is dit?

Emmi
2de graad ASO - zondag 23 augustus 2020

Antwoord

Hallo Emmi,

De kosten voor de twee gouden zijden (beide met lengte x) zijn 200x, de zilveren zijden kosten samen 150y. Het geheel mag € 1500,- kosten, dus geldt:

200x + 150y = 1500 (vergelijking 1)

Voor de oppervlakte S geldt:

S = x·y (vergelijking 2).

In de opgave staat een formule voor S waarin y niet voorkomt. In vergelijking (2) moeten we proberen om y kwijt te raken. Dat kan met behulp van vergelijking (1): isoleer y, je vindt:

y = -⁴/₃·x + 10x (vergelijking 3)

(Voer de berekening ook zelf uit!).

Als je deze uitdrukking voor y invult in vergelijking (2), dan vind je dezelfde formule voor de oppervlakte als in de opgave.

Nu kan je bepalen bij welke waarde van x je een maximum vindt voor S. Ik denk dat het de bedoeling is dat je dit doet met behulp van differentiëren. De gevonden waarde van x vul je in vergelijking (3) in, dan vind je de bijbehorende waarde van y. Je weet dan de lengte en breedte van het kader, en dus de oppervlakte.

Lukt het hiermee?

zondag 23 augustus 2020

©2001-2024 WisFaq