Volume integraal
Ik heb een vraag over de integraal:
$\int{}$dx$\int{}$dz$\int{}$sin(ln(y))z/x2(y-1)(e-y)
De grenzen zijn: 1 tot e, 1 tot √e en x tot z2, respectievelijk.
Ik zie niet hoe ik deze functie moet primitiveren aangezien het mij niet met partieel of substitutie methodes lukt.
Alvast bedankt voor de hulp,
Bram
Bram
Student universiteit - zondag 19 april 2020
Antwoord
Een van de dingen die hier waarschijnlijk werkt is veranderen van integratievolgorde. Ik heb mijn twijfels over de gedaante van de integraal; ik lees hem als volgt
$$\int_1^e\int_1^{\sqrt e}\int_x^{z^2} \frac{\sin(\ln y)\cdot z}{x^2(y-1)(e-y)} \mathrm{d}y\mathrm{d}z\mathrm{d}x
$$Hier heb je aan de buitenkant de rechthoek gegeven door $1\le x\le e$ en $1\le z\le\sqrt e$, maar daarbinnen kan $x$ zowel kleiner als groter dan $\sqrt z$ zijn en dan zou je de integraal over twee deelgebieden apart moeten berekenen.
Als je als extra eis meeneemt dat $x\le z^2$ moet gelden kun je de integraal makkelijk berekenbaar maken
Van $1\le x\le e$, $\sqrt x\le z\le\sqrt e$, en $x\le y\le z^2$ kunnen we door volgorde veranderen maken: $1\le y\le e$, $1\le x\le y$, en $\sqrt y\le z\le\sqrt e$, de integraal wordt dan
$$\int_1^e\int_1^y\int_{\sqrt y}^{\sqrt e} \frac{\sin(\ln y)}{(1-y)(y-e)}\cdot \frac1{x^2}\cdot z\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
$$de integralen naar $x$ en $z$ zijn makkelijk: $\int_{\sqrt y}^{\sqrt e} z\,\mathrm{d}z=\frac 12(e-y)$, en $\int_1^y\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x=1-\frac1y=\frac{1-y}y$.
Dan blijft
$$\int_1^e\frac12\frac1y\sin(\ln y)\,\mathrm{d}y
$$over, en die is nu makkelijk te doen.
kphart
zondag 19 april 2020
©2001-2024 WisFaq
|