\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Re: Re: Wentelen om een algemene functie

 Dit is een reactie op vraag 88728 
Beste meneer kphart,

Mischien wat laat om te antwoorden, maar ik had een ander iedee bij het uitrollen. Hierbij is de functie s(x) niet relevant (is een elliptische integraal). Voor mijn uitrollen heb ik complexe getallen gebruikt en alle functies omgeschreven tot parametrische vereglijkingen. In het geval van y=x3 schrijf ik het als het stelsel x(t)=t en y(t)=t3.
Ik gebruik vervolgens het feit dat dit eigenlijk een plaatsvector is om dit in een complexe vorm om te schrijven.
In dit geval wordt het f(t)=t+i*t3 en als ik mijn functie terug wil roteren hoef ik alleen met exp(-H*i).En omdat ik er voor wil zorgen dat de waarde y(t) nul wordt (het imaginaire deel moet dus nul worden ). In dit geval wordt mijn hoek H=arctan(t2) (dit is simpel na te rekenen ). Daarna kan je kan je de functie y=x2 ook zo transformeren. Hierna kan je de snijpunten van de getransformeerde van y=x2 met de lijn y=0 uitreken (dit is de getransformeerde van y=x3). hieruit komen volgensmij de waarden t=0 en t=1. De inhoud van het omwentelingslichaam wordt dus π* integraal van t=0 tot t=1 {y2(t)x'(t)}dt. De y(t) en x(t) in de integraal zijn die vam y=x2 na de rotatie. Ik kom via deze methode uit op een numerieke waarde van V=0,038029... blijft de inhoud hetzelfde? En wat bedoelt u met het uitrollen?

M.v.g.
Antoni R.

Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 20 januari 2020

Antwoord

Mijn uitrollen was (bijna) letterlijk dat: beschouw de grafiek van $y=x^3$ als een touwtje en leg dat recht op de $x$-as; daar wordt dus overal de lengte bewaard. Maar ik zag niet hoe deze transformatie ook naar de rest van het vlak kunt uitbreiden met behoud van volume van het wentellichaam.

Jouw methode is niet echt uitrollen, na transformatie is het touw gekrompen tot $\sqrt2$ en dat verstoort meteen de inhoud; en wat bedoel je met `ook zo transformeren' van $y=x^2$? Vermenigvuldigen met $\exp(-i\arctan t)$? Dat trekt de grafiek van $y=x^2$ krom ten opzichte van $y=x^3$ want $(t,t^2)$ gaat met een andere snelheid dan $(t,t^3)$. Ik zie niet hoe dit nog het volume kan bewaren.

kphart
maandag 20 januari 2020

©2004-2020 WisFaq