Bewijs met complexe getallen

Beste
Ik weet totaal niet hoe ik aan de volgende oefening moet beginnen:

geg: P, Q en R zijn de beeldpunten van de complexe getallen a, b en c.
T.B.:
1) driehoek PQR is gelijkbenig en rechthoekig in R Û a²+b²+2c²-2ac-2bc=0
2) driehoek PQR is gelijkzijdig Û a²+b²+c²-ab-bc-ca=0

Ik zou niet weten hoe ik hieraan moet beginnen, want we hebben zo geen gelijkaardige oefening in onze cursus gemaakt. Iemand die me op weg kan helpen?

Valeri
Student Hoger Onderwijs België - zondag 26 augustus 2018

Antwoord

In beide gevallen kun je het probleem eerst terugbrengen tot een speciaal geval.
1. Hier kun je $R$ naar de oorsprong schuiven: er geldt namelijk $a^2+b^2+2c^2-2ac-2bc=(a-c)^2+(b-c)^2$; dus je kunt aannemen dat $c=0$. Nu bekijken wat het betekent voor de complexe getallen $a$ en $b$ dat $a^2=-b^2$.
2. Hier kun je iets dergelijks doen: neem het zwaartepunt $m=(a+b+c)/3$. Dan geldt $a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=(a-m)^2+(b-m)^2+(c-m)^2-(a-m)(b-m)-(a-m)(c-m)-(b-m)(c-m)$; dus kun je aannemen dat $m=0$. Als de driehoek gelijkzijdig is dan kun je schrijven $b=\omega a$ en $c=\omega^2b$ met $\omega=-\frac12+\frac12\sqrt3$. Dan kun je laten zien dat de gelijkheid geldt.
Omgekeerd: schrijf $b=\eta a$ en $c=\nu a$; uit de gelijkheid volgt $\eta\nu=1$, en dus $abc=a^3$ en evenzo $abc=b^3$ en $abc=c^3$.

kphart
zondag 26 augustus 2018

©2001-2024 WisFaq