Oplossing DV met ln(x) functie

Goede morgen Wisfaq team,
Ik vonbd deze vergelijking in een cursus KUL Leuven
Ik heb volgende DV, lineair met variabele coëfficiënten.
x²y"-xy'+y=0
Stel y=x^r
y'=rx^(r-1)
y"=r(r-1)x^(r-2)
Invoeren in de gegeven DV levert een DV met constante coëfficiënten.
x²(r(r-1)x^r.x^-1))-x(rx^r.x^-1)+x^r=0
of:
(r²-r-r+1)x^r=0
we hebben dus r²-2r+1=0 en (r-1)²=0
r=(1;1) is dubbele wortel met multipliciteit k=2 en 1 als dubbel nulpunt
We vinden als oplossing :
y=C(1)x + C(2)((x.LN(x)).
LN(x) is omwille van multipliciteit k=2 toegevoegd in het tweede van de oplossing DV
Als ik alle gegevens terug invoer door de oplossing terug te differentiëren y;y' en y" en invullen in de gegeven DV kom ik netjes op Nul uit.
Graag een verklaring van de LN(X)in de oplossingen die blijkbaar correct is. Dit is me niet helemaal klaar
Voor bijvoorbeeld multipliciteit 3 zou ik dan in een DV oplossing kunnen hebben van (r-1)^3=0 ; r=(1;1;1)
y=C(1)x+C(2)xlnx +C(3)xln²x) hebben of toch niet ?
Groetjes
Rik

Rik Le
Iets anders - zaterdag 16 juni 2018

Antwoord

Het geheim is dat dit eigenlijk gewoon een tweede-orde DV met constante coëfficiënten is (overigens: na invullen van $x^r$ het je een gewone vergelijking, geen DV meer).
Om dat te zien voer je een nieuwe veriabele in: $z$ en wel zo dat $x=e^z$. Dan kun je $y$ dus als functie van $z$ beschouwen en om het verschil duidelijk te maken schrijf ik even $Y(z)=y(e^z)$.
Dankzij de kettingregel krijg je
$$
Y'(z)=e^z\cdot y'(e^z) = x\cdot y(x)
$$en
$$
Y''(z)=e^z\cdot y'(e^z) + e^z\cdot e^z\cdot y''(e^z) = x\cdot y'(x)+ x^2\cdot y''(x)
$$Je kunt dat ook schrijven $x^2y''(x)=Y''(z)-xy'(x) = Y''(z)-Y'(z)$. Je differentieelvergelijking kun je dus omschrijven tot eentje voor $Y$:
$$
Y''(z)-2Y'(z)+Y(z)=0
$$Die heeft als oplossing $Y(z)=c_1e^z+c_2ze^z$, en daarin herkent je je eigen oplossing, met $e^z=x$ en $z=\ln x$..

Alternatief (afgekeken van de oplossingen van lineaire DV met constante coëfficiënten): probeer een oplossing van de vorm $y(x)=x\cdot u(x)$ te vinden. Na invullen krijg je
$$
x\cdot u''+u'=0
$$ met oplossing $u'(x)=\frac1x$.

kphart
zaterdag 16 juni 2018

Re: Oplossing DV met ln(x) functie

©2001-2024 WisFaq