Bereken de straal

Vraag: Bereken de straal van de grootste cirkel die door de punten met coordinaten (1,-1) en (3,1) gaat en die de rechte y=-3x raakt.

Ik had volgende vergelijkingen reeds opgesteld:
(1-x₁)²+(-1-y₁)²=r²
(3-x₁)²+(1-y₁)²=r²
$\Rightarrow$ (1-x₁)²+(-1-y₁)² = (3-x₁)²+(1-y₁)²
$\Rightarrow$ -8+4x₁+4y₁ = 0

Ik vermoed dat we een 3de punt kunnen bepalen door iets met die raaklijn te doen, maar hier zit ik vast.

Alvast bedankt!!
Ruud

Ruud
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 22 juni 2017

Antwoord

Hallo, Ruud!
Je bekijkt blijkbaar cirkels met middelpunt (x₁,y₁) en straal r. Ze hebben vergelijking
(x-x₁)² + (y-y₁)² = r².

Uit het feit dat de cirkels door (1,-1) en (3,1) moeten gaan, heb je correct afgeleid dat x₁+y₁=2, dus dat het middelpunt van de cirkel op de middelloodlijn van de twee gegeven punten ligt. Let er wel op dat het middelpunt rechts van de lijn moet blijven, dus x₁ $>$ -1.

Dat de cirkels moeten raken aan y=-3x moet je ook omzetten in een voorwaarde waaraan x₁, y₁ en r moeten voldoen.
Dit doe je door te eisen dat de lijn y=-3x en de cirkel (x-x₁)² + (y-y₁)² = r² twee samenvallende snijpunten hebben.
Combineer de vergelijkingen van de lijn en de cirkel en vind een vierkantsvergelijking voor x. Los deze vierkantsvergelijking op met de a,b,c-formule. Er zijn twee samenvallende snijpunten als de discriminant 0 is, en anders niet.
Je vindt 10r² = 9x₁² + y₁² + 6x₁y₁ en het raakpunt
((x₁-3y₁)/10,(-3x₁+9y₁)/10).
De afstand van dit raakpunt tot het middelpunt (x₁,y₁) van de cirkel moet gelijk zijn aan de afstand van (1,-1) tot (x₁,y₁).
Je hebt nu voldoende vergelijkingen om r te vinden. Er zijn twee oplossingen voor r. Je moet de grootste van de twee hebben.

donderdag 22 juni 2017

Re: Bereken de straal

©2001-2024 WisFaq