Primitieve wortel

Neem p=71 dan euler-totient = 70 = 2򉩇
Ik wil weten of 7 een primitieve wortel is.
d= 70/2 of 70/5 of 70/7.
Het blijkt dat 7^d mod 71 $\ne$ 1.
Dus 7 is een primitieve wortel.
Vraag: Waarom hoef je voor d alleen 70 te delen door de priemfactoren om te weten dat 7 een primitieve wortel is?

Jan
Ouder - woensdag 21 december 2016

Antwoord

We weten dat $7^{70}=1\pmod{71}$, dus de orde is een deler van $70$. Noem die orde even $n$. Als $n < 70$ dan is $n$ een deler van $70/2=35$, $70/5=14$, of $70/7=10$ want $2$, $5$ en $7$ zijn de priemdelers van $70$. Maar dan is een van de machten $7^{35}$, $7^{14}$, of $7^{10}$ gelijk aan $1$ modulo $71$.
Daarom ben je klaar als je die machten hebt uitgesloten.

kphart
woensdag 21 december 2016

Re: Primitieve wortel

©2001-2024 WisFaq